TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 113 



rette: noi fisseremo di scegliere il segno inferiore. Le interse- 

 zioni della retta (7) colla cubica, fuori di A" saranno allora 

 determinate dall'equazione 



(c2 + 1) x' f ic' + 1) (c — 1) xz 4- c (c — 1) ^2 = 



e saran punti razionali se sarà quadrato il discriminante di 

 questa : 



A = (c2 + 1) [e — 1) [(c2 -I- 1) (e — 1) — 4c] = 



= (C2 -f 1) (e — 1) (C3 — c2 — 3C — 1). 



Si ponga e = - , d ed e primi fra loro, e > 0; dovrà risultare 

 quadrato esatto il prodotto 



(ci' + e^) {d — e] {d^ — d^'e — Sde^ — e^) = 

 = {d^ + e^) {d -e){d-\- e) {d^ — 2de — e^). 



Ora, si vede tosto che, dovendo essere primi fra loro e? ed e, 

 saranno pur tali a due a due i quattro fattori di questo pro- 

 dotto, oppure avranno il comune divisore 2. Nella prima ipo- 

 tesi debbono essere essi stessi, individualmente quadrati; nella 

 seconda ipotesi, d eà e dovranno essere dispari e quindi 

 c?2 -j- ^2 ^ ^2 — g2 — 2de^2 (mod. 4), cosicché saranno qua- 



drati — 2 — , ^ , d^ — e-: i primi due dispari , 1 ul- 

 timo pari. 



Nella prima ipotesi dovrebbe essere quadrato d^ — e* == 

 = [d^ -\- é^) {d -\- e){d — e); ora è noto che non esistono numeri 

 interi di cui la differenza delle quarte potenze sia un quadrato 

 (la soluzione e = essendo già esclusa per ipotesi); tale ipotesi 

 è dunque assurda. 



Nella seconda ipotesi, indicando con i l m numeri interi, 

 dovrà essere 



(8) d^e=2i^ d — e = 2P d^ — 2de — e^ ~ 2m^ ; 



i, Z, w saranno primi fra loro a due a due e con d ed e. L'ul- 

 tima equazione può scriversi: 



2^2 — {d-{- ef = -Id' — 4i* = 2m2 

 onde 



d^ — m- = 2i^. 



