114 BEPPO LEVI 



d — «t e d -{- m debbono quindi esser pari , e 2 sarà il loro 

 m.c.d. : per soddisfare a questa equazione dovrà dunque porsi 

 (ammettendo per m valori negativi) 



d — m = 2a^ d-^ m = 16p^ i = 2ap 



a, p primi fra loro ; a ^ 1 (mod. 2) 

 onde 



d = a' + 8^^ d-\-e=2Ì' = Sa^^^ e = 8a^p2_a4_ gp* 



d — e = 2a^-\- 16p* — 8a2p2 



Per la seconda delle equazioni (8) dovrà quindi porsi 

 (9) a^ + 8P* — 4a2p2 = p 



da cui, successivamente 



4p2 (2p2 _ a2) = Z2 __ «4 



/, a primi fra loro, Z ^ a ^^ 1 (mod. 2) 



Z — a2 = 2;?2^ Z-l-a2=:2r2s ^ = pr 2^^ — a^'=qs 



p, q, r, s primi fra loro a due a due, con l e con a 



(lOJ a2 = r'^s — fq = 2p2r2 _ qs 



q{s—p')=zr^{2p' — s). 



2 ed 1*2 son primi fra loro e così pure, per esser primi fra loro 

 p eà. s, s — ^2 Q 2p- — s ; quest'uguaglianza potrà dunque solo 

 soddisfarsi per 



q = 2p^ — s , r^ = s — p^ 



da cui 



s = r'^ -\- p^ q = p'- — /•2 



e, per la (10), 



a-' = ;••' -{- 2p V2 — p^ . 



Ora, se ^ è dispari, il secondo membro di questa equazione è 

 ^ — 1 2 (mod. 4) secondochè r è pari o dispari ; non potrà 

 dunque mai rappresentare un quadrato. Si supponga dunque 

 p = 2t ; l'equazione diviene 



0(2 — ,.4 _^ 8i2^2 _ 16^4 



