TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 115 



da cui successivamente, ammettendo per a, x, <? valori negativi, 

 e ricordando che a, r e p sono primi fra loro a due a due, e 

 quindi son pure tali a, r, ^ e r è dispari, 



a2 — r^ = 3^2 (,.2 _ 2^2) 



a — r^ — 2n2x a -f r^ = Ap^O t = np r^ — 2^^ — ^^ 



TT, X, P, C! primi fra loro a due a due; x- (^ dispari 



r^ = 2p2a — TT^x = 2TT2p2 -f xa 



2p2 (a — n2) = X ((? + 7t2). 



Dovendo x essere dispari, sarà pari a -\- ti^ e quindi anche 

 Cf — tt2 ; allora il primo membro possiede il fattor 4 e per 4 

 deve esser divisibile o -\--n^, onde a — tt^ non è divisibile per 4. 

 Segue 



4p2 =r (J -f TT2 2X = (T — TT2 



a = 4p- — 7X2 X = 2p2 — TT2 



r2 = tt4 — 4TT2p2 -f 8p4 



equazione della medesima forma della (9), ove p tiene il posto 

 di p e a di TT. Dalle posizioni: 



^z=pr p z= 2t = 2'np 



si rileva ora che 



\^\>\p\> 1p|. 



Se dunque la (9) potesse essere soddisfatta per un certo valore 

 di p, sarebbe pure per un altro minore in valore assoluto (*), e 

 così dovrebbe esser soddisfatta per valori assoluti di p interi, 

 indefinitamente decrescenti; assurdo. 



Ne segue l'impossibilità annunciata al principio del numero. 



11. — Riassumendo: le sole configurazioni arborescenti di 

 punti razionali, razionalmente deducibili tutti da uno di essi, che 



(*) Si noti d'altronde che 3, p, P possono sempre supporsi essi mede- 

 simi positivi. 



