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possono esistere sopm una cubica [a coefficienti razionali (*)] sono 

 quelle che corrispondono ai valori di f (n. 2): 



i = T . V < 4. 



Esse contengono rispettivamente : per v = (J , i punto ; per v = 1 , 

 2 punti; per v = 2, ^ punti; per v = 3, 8 punti. 



12. — Ma una configurazione arborescente potrebbe pos- 

 sedere punti razionali per così dire accidentali, oltre quelli enu- 

 merati nella descrizione generale del n. 3 e in quelle particolari 

 dei n' 6-9, in quanto potrebbe uno dei punti razionali già incon- 

 trati essere tangenziale di altri punti razionali oltre quelli già 

 riconosciuti in detti numeri. Se tal fatto si verifica per un punto 

 di una successione di tangenziali (che non potrà essere l'origine 

 della catena), tutti i punti della successione, tolta sempre l'origine, 

 sono essi stessi tangenziali di quattro differenti punti razionali 

 (uno dei quali, in particolare, coincidente col punto medesimo, 

 quando questo è il fesso). 



Dal n. 3 risultava infatti già che ogni punto della succes- 

 sione, esclusa l'origine, è tangenziale di due punti razionali: 

 se allora esso è tangenziale di un terzo punto razionale, anche 

 il quarto punto di contatto delle tangenti da esso alla cubica 

 sarà razionale. Si supponga inoltre che un punto Afj. (v > ji > 1) 

 di una delle successioni di tangenziali descritte al n. 3, sia tan- 

 genziale, oltreché dei punti razionali Af^-\, ^JiLi, ancora dei 

 punti Tiu.-\, B'ij-\: per una proposizione già ricordata al n. 3, 

 ciascuna delle congiungenti Ay-i coi punti A^ll-v, Bf^-i, B' fx-i 

 taglia ulteriormente la cubica in un punto razionale, diverso 

 da Au ed avente lo stesso tangenziale Au^\ di A^. Se M<v, 

 per modo che Au non sia flesso, i tre punti così ottenuti sono 

 distinti fra loro e dai punti da cui furono dedotti. Così ogni 

 punto seguente Au nella successione è tangenziale di 4 punti 

 razionali. Si supponga poi che Au-i sia a sua volta tangenziale 

 di un punto razionale Au-2 (cioè che ^ > 1): ciascuna delle 



(•) Si noti che tosto ihe il numero dei punti della configurazione è 

 > 4, la cubica ne è completamente determinata e la razionalità dei suoi 

 coefficienti è conseguenza della razionalità dei punti medesimi. 



