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Si ponga ai = f/o = ^1 = — A-g ^ 1 : l'equazione | (18), n. 17, 

 Nota I] a cui si riconduce la risoluzione in numeri interi della 

 (11) diviene allora 



(p2 = t (e-i — E*) 



e, come già fu ricordato più volte, questa equazione non am- 

 mette soluzioni che per 8 = o EznO o 6=3^2; riesaminando 

 le notazioni del citato n. 17, nota I, si vede che a tali solu- 

 zioni corrispondono i punti razionali già enumerati. Segue che 

 esistono cubiche, per es. la 



che posseggono un fesso razionale, tangenziale di 4 punti razio- 

 nali e non posseggono altri punti razionali. 



14. — Si chiede però se nella cubica (11) uno dei punti 

 di contatto delle tangenti dal flesso possa essere tangenziale di 

 un punto razionale, per una conveniente scelta dei coefficienti. 

 Già nel n. 12 si è mostrato che esiste al più un tal punto, e 

 si può fissare (previo, occorrendo, un cambiamento di coordi- 

 nate) ch'esso sia il punto (1 0). I punti di contatto delle tan- 

 genti da questo punto alla cubica (11) sono determinati dalle 

 soluzioni comuni alle due equazioni 



aiZ' — «2^ [(A'i + ^2) y — 2kik2x] = 

 y^ zzz kik^x- . 



Occorre adunque che il prodotto kika sia idi quadrato e sia 

 quindi quadrato il birapporto k = r^ della cubica (*). Quando a 



Kg 



questa condizione si sia soddisfatto, fissato arbitrariamente un 

 valore intero alla x, la 2=» equazione determina, a meno del 

 segno, un valore intero di y; e se quindi si fissa arbitrariamente 

 un valore intero di z, la 1* equazione permette di determinare 



(*) Come caso particolare in una cubica armonica so un flesso razionale 

 è tangenziale di 4 punti razionali, ciascuno di questi non può, a sua volta, 

 essere tangenziale di punti razionali. 



I 



