TEORIA. ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 119 



di conseguenza ai e «2 P^r modo che il sistema ammetta la so- 

 luzione razionale (intera) costituita da quei valori di x, y, z. 

 Ne segue (tenendo sempre presente il n. 12) l'esistenza di cu- 

 biche razionali su cui una configurazione del tipo SL (2) si trova 

 accresciuta per l'aggiunta di 4 punti razionali aventi per tangen- 

 ziali, due il punto A^ e due il punto Ag {del n. 8). 



15. — Punti razionali accidentali possono pure presentarsi 

 con una configurazione <3t (3). 



Si consideri infatti la cubica 



(12) y^'{x—z) — y[ax^^{a^—ia-\-2)xz]-[-{a—l){a — 2)xz^ — 0, 



forma generale a cui. secondo il n. 9, si può ridurre ciascuna 

 cubica che possegga la configurazione d (3) di punti razionali. 

 I punti di contatto delle tangenti da A^^i'òl 0) alla cubica 

 sono i punti (0 1), [a — 2, a — 2, — 1) ed altri due le cui 

 coordinate x e z sono date dalla equazione 



a'^x' -\~ a {a- — 6a + 4) ic^ + 4 (a — 1) ^^ — q . 

 il discriminante di questa può scriversi 



«2 [(«2 _ 6a 4- 6)2 — 4 [a — 1)^] . 



Si ponga a^z~ {m, n interi, primi fra loro) : questo discri- 

 minante sarà un quadrato quando sia quadrato (m^ — Qmn -\- 

 -{- 6n^Y — 4w- (m — n)'^ : chiamando w^ tal quadrato e ponendo 

 in — il =zp si dovrà allora avere 



[p- — ipn -\- w2)2 ^2: H- -\- 4:p'^n^. 

 Si soddisfa a questa equazione ponendo 

 pi _ 4,pn ^ n^ = a2 -f p^ p,i = «p ^^ — a- — p- 

 da cui, ammettendo per a e 3 valori interi, positivi negativi, 



p — n = a-\-^ {p-\- ny = a^ + p^ + 6ap = (a -f 3p)2 — 8p^ 

 (a + 3p)-2 = (^; + '*r + 8P^ 



