120 BEPPO LEVI — TEORIA ARITMETICA, ECC. 



Per soddisfare a questa equazione si deve porre 



a 4- 3p = X2 -j- 2m2 ^J^n = \-' — 2\x^ P = X^ 



da cui 



p — « = a 4- p = X2 -f- 2m2 — 2\)i 

 onde 



j9 = X(X — ^) w = |ii(X — 2m) m=p-{-n — \^ — 2viK 



Basterà dunque assumere nella cubica (12) 



X^ — 2\x* 



^ — ]x{\-2n) 



dove \ e ^ sono interi quali siansi, perchè essa venga a possedere 

 una configurazione d(3) tale che i punti Aj , K^, A3, A\ siano 

 tangenziali, oltreché dei punti imposti dalla configurazione, ciascuno 

 di altri 2 punti razionali. Si otterrà così un sistema totale di 

 16 punti razionali. 



Viene con ciò totalmente esaurita la ricerca e la classificazione 

 delle configurazioni finite arborescenti di punti razionali sopra le 

 cubiche a coefficienti razionali. 



In una prossima Nota HI tratterò dei sistemi finiti di punti 

 che dipendono da configurazioni poligonali e dal simultaneo pre- 

 sentarsi su una cubica di varie configurazioni di punti razionali. 



Dal punto di vista puramente aritmetico rileverò la dimo- 

 strazione, contenuta in questa Nota (n. 10), della non risolubi- 

 lità in numeri interi, con // ^f^ 0, dell'equazione 



x^ — ix-'y' + 8i/* = z^ . 



