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Questo teorema ha il suo analogo negli spazi a due o più 

 dimensioni. Nel piano, p. es., si potrebbe sostituire la conside- 

 razione dei segmenti con quella dei quadrati aventi i lati pa- 

 ralleli agli assi coordinati. 



§ 1. — È necessario premettere il seguente teorema. 



Se "L è un gruppo di segmenti il cui corpo abbia una mi- 

 sura |Li finita e se e è un numero maggiore di zero, esiste un 

 numero finito di segmenti di Z a due a due distinti le cui lun- 

 ghezze hanno una somma maggiore di ~ — e. 



Cominciamo col fissare una successione 



di numeri tutti maggiori di zero e tali che 



OD 



^.<i 



Sia li il limite superiore delle lunghezze dei segmenti di T. 

 Esiste in Z un segmento Si di lunghezza maggiore di ^x-^i- 

 Indichiamo con Zi i segmenti di Z che hanno dei punti in co- 

 mune con Si. I punti del corpo di Z^ che non appartengono ad 

 Si formano un gruppo Gì la cui misura non supera 2/^. Sia I2 

 il limite superiore delle lunghezze dei segmenti di Z-Z^. Esiste 

 in Z-Zi un segmento s^, necessariamente del tutto distinto da 

 Si, di lunghezza maggiore di 1-2-^2 • Indichiamo con Zg i segmenti 

 di Z-Zj che hanno dei punti in comune con ^2. I punti del corpo 

 di Z2 che non appartengono ad S2 formano un gruppo G2 la cui 

 misura non supera 2I2 . Sia I3 il lìmite superiore delle lunghezze 

 dei segmenti di Z-Z1-Z2, ecc., ecc. 



Manifestamente la somma delle lunghezze dei segmenti 



^1? ^2» ^3 • • 

 non, supera ili e quindi certamente 



^ {L — e„) < M , 



n = 1 



