SUI GRUPPI DI PUNTI E SULLE FUNZIONI DI VARIABILI REALI 233 



Se Z è un gruppo di quadrati il cui corpo abbia una misura 

 finita IH e se e è un numero maggiore di zero, esiste un numero 

 finito di quadrati di T a due a due distinti le cui aree hanno una 



somma maggiore di— — e. 



L'espressione ^ — e diventa dunque x^ — € quando si passa 

 al piano, nello spazio ordinario diventerebbe -^y — e e in gene- 

 rale, nello spazio ad n dimensioni, diventerebbe — — e. 



La dimostrazione della proposizione in uno spazio qualunque 

 è del tutto analoga a quella data per la retta. 



§ 3. — Ora passiamo a dimostrare il teorema enunciato 

 nella introduzione. 



Esiste manifestamente un sottogruppo Z^ di Z che ha lo 

 stesso nucleo di Z e il cui corpo ha misura Mi finita. 



Sia: 



ei + €2 + e.. + 



una serie convergente di termini tutti maggiori di zero. 



Noi possiamo pel teorema del § precedente trovare un nu- 

 mero finito di segmenti di Z^ a due a due distinti 



5l, «2 «Ni (1) 



tali che la somma o^ delle loro lunghezze sia maggiore di 



3 ^1' 

 e quindi di 



«ti 

 3 



€1 



Consideriamo il gruppo Zg dei segmenti di Z^ che non hanno 

 punti comuni coi segmenti (1). 



Se m.2 è la misura del nucleo di Zg è certamente 



m^ > >»i — CTi . 



