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può darsi che G non sia misurabile e, dato che G sia misura- 

 bile ed abbia misura maggiore di zero, può darsi che tutti i 

 gruppi di A siano di misura nulla. 



Sia ora T un gruppo misurabile di punti di misura fi mag- 

 giore di zero e Z un gruppo di segmenti tale che ogni punto 

 di r appartenga a qualche segmento di Z. 



Se Z è numerabile o finito esiste certamente in Z un seg- 

 mento che contiene un sottogruppo di T di misura maggiore di 

 zero. 



Che cosa accadrà se Z ha potenza maggiore del numera- 

 bile ? Benché quanto ho premesso faccia sospettare che possa 

 darsi che nessun segmento di Z contenga un sottogruppo di T di 

 misura maggiore di zero, io posso, in virtù dei precedenti teo- 

 remi, dimostrare che ciò non capita mai e che anzi esiste sempre 

 un gruppo numerabile di segmenti di Z che ricoprono un sot- 

 togruppo di r di misura ^. 



Indichiamo con Zo il gruppo di tutti i segmenti i cui estremi 

 appartengono ad un medesimo segmento di Z. 



Il nucleo e il corpo di Z^ coincidono col corpo K di Z. 

 r è un sottogruppo di K. 



Noi possiamo trovare un' infinità numerabile di segmenti 

 di Zq a due a due distinti 



tali che la somma (S delle loro lunghezze non sia minore della 

 misura w di K (nucleo di Zo). Ma a non può superare la misura 

 del corpo di Z, dunque a = uj. Dunque i punti di K che non 

 appartengono a qualche segmento (1) formano un gruppo di mi- 

 sura nulla e perciò anche i punti di F che non appartengono a 

 qualche segmento (1) formano un gruppo di misura nulla. 



Indichiamo con S^ un segmento di Z che contenga Sj, con 

 S2 un segmento di Z che contenga So, ecc., ecc. I segmenti 



Si, S2 



appartengono tutti a Z e ricoprono un sottogruppo di f di mi- 

 sura |a. e. d. d. 



