SUI GRUPPI DI PUNTI E SULLE FUNZIONI DI VARIABILI REALI 237 



Capitolo IL 



Nella mia nota " Sulle funzioni integrali „, pubblicata nel 

 1905 dall'Accademia reale delle Scienze di Torino io ho dato 

 la condizione necessaria e sufficiente 'perchè nna funzione di una 

 variabile reale sia un integrale. I metodi di dimostrazione da me 

 usati in quella nota non si possono estendere ai casi di due o 

 più variabili. 



In questo capitolo io modifico quei metodi in modo da ren- 

 derli applicabili anche a questi casi. Mi riescono utili a tal fine 

 i risultati del capitolo precedente. 



Perchè si intenda facilmente in che senso si debba esten- 

 dere il risultato della mia nota citata alle funzioni di più va- 

 riabili, indicherò tale estensione per le funzioni di due variabili 

 nell'ultimo § di questo capitolo. 



Rimando alla introduzione della mia nota citata per le no- 

 zioni di funzione integrale e di funzione assolutamente continua 

 ad una variabile. 



§ 1, — Nel § 4 della mia nota citata ho dimostrato che: 



/ punti in cui un numero derivato di una funzione con- 

 tinua è finito formano un gruppo misurabile. 



Io conservo intatta quella dimostrazione e passo a dimo- 

 strare che : 



/ punti in cui un numero derivato di una funzione con- 

 tinua e a variazione limitata non è finito formano un gruppo di 

 misura nulla. 



Sia F{x) una funzione a variazione limitata in un inter- 

 vallo (a, b) e P il valore della variazione totale di F{x) nel 

 tratto (a, b). 



Sia inoltre /\{x) un numero derivato di F{x) e |li la misura 

 del gruppo T in cui A (a:) è infinito. Supponiamo che sia M > o. 



Se Z è il gruppo dei segmenti (a, P) in cui 



F(3) - F(a) I ^ 2P 



a I M 



