SUI GROPPI DI PUNTI E SULLE FUNZIONI DI VAIilABILI REALI 243 



Analogamente, se 



a < X <b , 



si troverebbe 



{\{x)dx = F{x) — F{a). 



È dunque dimostrata anche la seconda parte del nostro 

 teorema. 



§ 3. — Sia f{x) una funzione ad integrale nullo (*) e sup- 

 poniamo che i punti in cui f{x)^o formino un gruppo di mi- 

 sura maggiore di zero. Allora certamente i punti cui f{x) > o 

 formano un gruppo di misura maggiore di zero, e posso trovare un 

 numero A > o per cui il gruppo (t dei punti in cui f[x)>o abbia 

 nna misura |a maggiore di zero. 



Fissato un numero cr >o e minore di li.m, esiste un numero 

 )i > o tale che per ogni gruppo V di punti di misura minore 

 di !lI sia 



\ f{x)dx\<a. 



Ora racchiudiamo G in un gruppo numerabile Z di segmenti 

 a due a due distinti, le cui lunghezze abbiano una somma mi- 

 nore di m -\- \x. I punti, di questi segmenti che non apparten- 

 gono a G formano un gruppo G^ di misura minore di m, 

 e quindi 



Inoltre è 



perciò 



f (.r) dx < o 



.' Gì 



f [x] dx > mh 



G 



f [x] dx > ìn]t 

 ■G, 



(*) V. la mia nota " Sttlli' funzioni mi inti-qrnlp ntiUn ,. 11. d^ 

 Mat. di Palermo, 1905. t. XX. 



Atti (iella R. Accademia — Voi. XLIII. 



