SUI (ii;UPPI DI PUNTI E SULLE FUNZIONI DI VARIABILI REALI 245 



In un piano coordinato [x, y) chiamo rettangolo coordinato 

 iin rettangolo i cui lati sono paralleli agli assi coordinati. Il 

 vertice di un rettangolo coordinato che ha coordinate minori 

 lo chiamo vertice minore, quello che ha coordinate maggiori Io 

 chiamo vertice maggiore. 



I vertici maggiore e minore di un rettangolo coordinato li 

 chiamo vertici principali, gli altri due vertici secondari. 



(Jhiamo estensione di un gruppo di rettangoli la somma delle 

 aree dei singoli rettangoli e dico che ho un gruppo di rettan- 

 goli distinti quando due qualunque dei rettangoli del gruppo non 

 hanno punti interni comuni. 



Sia F{x, y) una funzione finita delle variabili reali x, y nel 

 rettangolo coordinato R che ha il vertice minore nell'origine e 

 il maggiore nel punto [a.h). 



Chiamo incremento di F{x,y) in un rettangolo coordinato p in- 

 ferno ad E la somma dei valori di F{xy) nei vertici principali 

 di p diminuita della somma dei valori di F{xy) nei vertici se- 

 condari di p. 



Chiamo poi incremento di F{x, y) in un gruppo di rettangoli 

 coordinati distinti contenuti in R la somma, se è determinata e 

 finita, degli incrementi di F{x, y) nei singoli rettangoli del gruppo. 



Se per ogni numero a > o esiste un numero \x> o tale che 

 sia minore* di a il modulo dell'incremento di F{xy) in ogni 

 gruppo di estensione minore di ili di rettangoli coordinati distinti, 

 si dirà che F{x, y) è assolutamente continua. 



Diremo che una funzione F{x, y) è in i? una funzione in- 

 tegrale se e soltanto se esiste in R una funzione finita e som- 

 mabile superficialmente f{xy), tale che 



F[xy) + F{oo) - F{x, o) - F{o, y) = m^ì/Ì^P 



p{x.y) 



dove p{xy) indica il rettangolo coordinato che ha il vertice mi- 

 nore nell'origine e l'opposto nel punto F di coordinate ,r, y, e 

 ciò comunque sia scelto P in R. 



Dico che una funzione F{xy) è a variazione limitata quando, 

 in qualunque modo si divida R in un numero finito di rettan- 

 goli coordinati, la somma dei moduli degli incrementi di F{xy) 

 in tali rettangoli rimane minore di un numero fisso. 



