SULLA DEFOKMA/.IONE DELLE SUPERFICIE 293 



di simmetria fra due superfìcie a curvatura positiva non è mai 

 un'applicabilità {}). 



Trascurerò d'ora in poi il caso delle superficie a curvatura 

 nulla che è di immediata evidenza. — Pel caso delle superficie 

 a curvatura positiva mi limiterò al caso analitico; mentre trat- 

 terò il caso più generale per le superficie a curvatura negativa. 

 Mi piace però osservare che per i noti teoremi sul carattere 

 analitico delle soluzioni delle equazioni di tipo ellittico di 

 secondo ordine, l'ipotesi che la superficie a curvatura positiva 

 sia analitica equivale solo al supporre che i coefficienti E{av), 

 F{uv), G [uv] dell'elemento linearci siano funzioni analitiche di 

 una coppia conveniente di variabili u e v. poiché, ammesso ciò, 

 ed ammesso che le coordinate x, ij, z del punto della superficie, 

 abbiano, considerate come funzioni di «, v, le derivate dei primi 

 tre ordini finite e continue, segue di necessità che la superficie 

 è analitica p). 



Noterò ancora che le considerazioni che seguono valgono 

 non solo se la superficie è immersa nello spazio euclideo; ma 

 anche se si immagina la superficie immersa in uno spazio a 

 curvatura costante TT,,: basterà in tutto quanto segue sostituire 

 alla curvatura assoluta K della superficie la curvatura relativa 



Ciò risulta evidente quando si osservi che mediante questa 

 sostituzione si passa dalle equazioni di Gauss e di Codazzi 

 relative ad una superficie immersa in uno spazio euclideo alle 

 analoghe relative ad una superficie immersa in uno spazio di 

 di curvatura A'o (^): e che d'altra parte il nostro problema equi- 

 vale a studiare quando avviene che i sistemi di funzioni D, !>', D", 

 coefficienti della seconda forma fondamentale, che soddisfano alle 

 equazioni di Gauss e di Codazzi, formano un insieme continuo. 



(') Tale questione mi fu proposta dal Chiar.'"" Prof. Bianchi ; di ciò e 

 degli utili consigli che mi diede mi sia concesso di ringraziarlo vivamente. 



(') Cfr. Berxsteix S., Sur la nature analytique des solutions des éqxations 

 uux dérivées partielles du second ordre. " Math. Ann. „ Bd. 59, 1904, pag. 20-83. 

 Vedi anche dello stesso A.: Sur la déformation des surfaces. " Math. Ann. „ 

 Bd. 60, pag. 137 (1905). 



O Cfr. Bianchi, Lezioni, voi. 1, § 21^, pag. 492, formula (VII*) ed (Vili). 



