294 EUGENIO ELIA LEVI 



Le superficie a curvatura positiva {^). 



2. — Per trattare il problema nel caso delle superficie a 

 curvatura positiva penseremo le superficie di dato elemento 

 lineare individuate coll'assegnare la forma di una loro curva 

 prefissata, ad es,: della v = 0. Riassumerò brevemente i risultati 

 noti relativi al problema di determinare una superficie con as- 

 segnata deformata di una curva, cercando di porre in rilievo le 

 osservazioni che più ci interessano, rimandando per il resto alla 

 trattazione del problema che si trova nelle Lezioni del Bianchi (^). 

 Seguo completamente le notazioni del Bianchi. 



Si supponga la superficie riferita ad un sistema ortogonale 

 (?<, v) e che il parametro u misuri l'arco sulla linea «; = di cui 

 vogliamo assegnare la deformata. Chiamerò f questa linea v = 0: 

 e supporrò per fissare le idee che la sua curvatura geodetica p,, 

 sia < 0. 



La deformata C della curva f sia assegnata ad esempio 

 mediante le sue equazioni intrinseche 



(1) 9 = fin), T=q>{ti); 



saranno f{u) e qp [u) funzioni analitiche regolari in un certo 

 campo della variabile u. Indichiamo come al solito con a, p, x; 

 g, ri, Z; X, |Li, V i coseni di direzione della tangente, della nor- 

 male e della binormale di C. Indichi cf l' angolo di cui deve 

 rotare nel verso positivo la normale alla superficie per portarsi 

 sulla normale alla curva: dovrà essere 



(2) sen (j == — -^ ; 



Pv 



e questa equazione, per l'ipotesi fatta che p„ < 0, ci dà due valori 



u 

 2" 



supplementari di (J, l'uno compreso fra e y, l'altro compreso fra 



(') Per quanto nel presente numero e nel successivo si abbia in vista 

 le superficie a curvatura positiva, tuttavia la maggior parte dei ragiona- 

 menti, ed in ispecie quelli del n. 2, valgono pure per le superficie a cur- 

 vatura negativa. 



(2) Bianchi, Lezioni, voi. I, § 111-112, pag. 244-249. 



