SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE 295 



— e TT. Si fissi per a una di queste due soluzioni di (2) : per 

 ottenere la superficie basterà integrare l'equazione 



(3) A2,ò = (l -A.bjK, 



prendendo per ò successivamente le coordinate ce {u v) , y [u v), 

 z {u v) incognite della superficie ; colla condizione che per e = 

 soddisfino rispettivamente alle uguaglianze 



(4) x{uv) = x{u),~ = o.,^^ = y ^ = — /^(Esena + Xcoscr), 



huòv Òìl 



yJG (2 sen a -L \ cos cr) 



e alle analoghe per ij e per z. 



Giova notare che basterà ottenere integrando (:3) una sola 

 delle tre funzioni incognite a;, tj, z\ le altre si avranno poi per 

 quadrature. 



Questa osservazione ci permette di affermare col Bianchi 



che fin quando è cj'-H— è sempre possibile risolvere una delle 



equazioni (3) coi dati iniziali (4): anzi si può senz'altro affer- 

 mare di più che, se le funzioni analìtiche f (w), qp {%C) variano, 

 rimanendo però inferiori ad un numero finito M e tali che il 

 loro raggio di convergenza non scenda mai al disotto di un 

 certo numero r, e che la funzione a soluzione di (2) differisca 



sempre da — di più di un certo numero e, le superficie 5, che 



si ottengono nel modo detto sopra corrispondentemente alle 

 varie determinazioni di f [lì] e qp (m), esistono tutte in un certo 

 campo comune di valori per u e v. Ed al variare continuo di 

 f {\i) e qp {lì), purché si scelga con continuità la determinazione 

 di a (m), varieranno anche con continuità le superficie S che si 

 ottengono. 



Noteremo infine che per quanto precede la superficie cor- 

 rispondente ad una determinazione di (? è unica : e che la deter- 

 minazione precedente dà effettivamente una superficie che soddisfa 

 alle condizioni del problema. 



3. — Premesso ciò, incominciamo coll'osservare che se una 

 superficie è a curvatura positiva non si potrà mai passare con 



