296 EUGENIO ELIA LEVI 



continuità da una superficie in cui ad un determinato punto 

 di r corrisponda un valore di a compreso fra e -^ ad una per 

 cui al punto medesimo corrisponda un valore di cr fra --■ e tt. 



Ed invero se tale passaggio fosse possibile esisterebbe una de- 

 formata S della superficie, tale che per essa il valore corrispon- 

 dente di a in è —: allora la curva C che su S rappresenta T 



avrebbe in il piano osculatore tangente alla superficie: il che 

 è impossibile se la superficie è a curvatura positiva. 



Dunque intanto possiamo affermare che le superficie a cur- 

 vatura positiva di dato elemento lineare si dividono in due 

 classi tali che da una superficie di una classe non si può pas- 

 sare con continuità alle superficie dell'altra: e sappiamo che per 

 riconoscere se una superficie appartiene all'una od all'altra classe 

 basta vedere se, preso un punto su f, il corrispondente va- 

 lore di (5 è compreso fra e — o fra -^ e tt. Applichiamo questo 



criterio a due superficie simmetriche rispetto a un punto dello 

 spazio: se osserviamo che, assumendo come positivi su curve 

 simmetriche versi corrispondentisi, le direzioni positive delle 

 normali alle superficie in due punti simmetrici sono concordanti, 

 mentre le direzioni positive delle normali principali di due curve 

 simmetriche sono opposte ; concludiamo che di due superficie 

 simmetriche l'una appartiene all'una classe e l'altra all'altra {^}. 

 Cosicché, per dimostrare il nostro asserto occórre solo mo- 

 strare che si può passare con continuità da una ad un' altra 

 qualunque superficie 'della medesima classe. Ora ciò risulta 

 dalle osservazioni fatte in fine al n. precedente: poiché, siano 

 S ed *S' due superficie date, C e C le curve deformate di f su 



(') Che del resto due superficie simmetriche a curvatura positiva non 

 siano applicabili risulta anche dalle considerazioni seguenti. Presa una su- 

 perficie a curvatura positiva, dicasi faccia positiva della superficie quella 

 rivolta verso i centri di curvatura; in altri termini dicasi positiva la faccia 

 concava della superficie. Si potrà allora definire il giro positivo sulla su- 

 perficie. Ora è ben chiaro che deformando con continuità la superficie, il 

 giro positivo rimane sempre positivo, mentre si scambia col negativo per 

 una simmetria. Onde l'asserita impossibilità di applicare una superficie 

 sulla simmetrica. 



