SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE 297 



S e S', <y («), a' (m) i valori di a relativi a C e C e si supponga 



0<cr<(yo<-^, 0<(J'<ao< — . Noi potremo evidentemente 



costruire una successione di curve analitiche Cj riferite fra di loro 

 per uguaglianza di archi che permetta di passare con continuità 

 da C a C per modo che il valore pi della prima curvatura in 

 un punto qualunque di Cj sia sempre compreso fra i valori 

 p e p' della prima curvatura nei punti corrispondenti di C e C. 

 Per tali curve si avrà che l'angolo cfi (il quale è definito da (2)) 



soddisfa esso pure alla limitazione < cr^ < a^ < — ; o quindi 



le superficie Si , isometriche con S ed S', su cui C^ è la defor- 

 mata di r, esistono tutte in un certo campo di valori per u e v, 

 e danno una successione di superficie che ci permettono di pas- 

 sare con continuità da S ad S'. 



Le superficie a curvatura negativa. 



4. — Nel caso delle superficie a curvatura negativa val- 

 gono i ragionamenti fatti sopra circa alla determinazione della 

 superficie con assegnata deformata di una curva (^) : ma non è 

 più legittima la distinzione in due classi delle superficie deformate 

 di una data; poiché è bensì vero che il metodo precedente non 

 ci permette più di determinare la superficie quando in qualche 



punto di C sia (? = -^ (e cioè la curva assegnata debba essere 



tangente ad una asintotica della superficie), ma non possiamo 

 più assicurare che tale superficie non esista. 



Riprenderemo perciò la questione dal principio, fondandoci 

 ora sulla determinazione della superficie mediante due sue asin- 

 totiche, quale è stata trattata dal Bianchi in una nota portante 

 lo stesso titolo della presente mia, e pubblicata negli Atti di 

 questa Accademia (-). Otterremo così anche il vantaggio di libe- 



(') Tenendo conto dei risultati della mia Nota Sul problema di Catichy 

 per le equazioni a caratteristiche reali e distinte (Rendiconti della R. Acca- 

 demia dei Lincei, 2 marzo 1908), questa determinazione è in questo caso 

 indipendente dall'ipotesi dell'analiticità. 



(') Cfr. Bianchi, Sulla deformazione delle superfìcie flessibili ed inesten- 

 dibili. Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 1904-1905, voi. XL. 



