298 EUGENIO ELIA LEVI 



rarci dell'ipotesi della natura analitica della superficie che ab- 

 biamo dovuto fare fin qui. 



Dato l'elemento lineare di una superficie a curvatura ne- 

 gativa 



(5) ds^ = Edu^-{-2F du dv -\~ G dv^ , 



diconsi asintotiche virtuali dell'elemento lineare quei sistemi di 

 linee (a 3) che per una conveniente tra le superficie isometriche 

 di elemento lineare (5) sono linee asintotiche. Dato un sistema 

 di asintotiche virtuali (a jB) la superficie che le ammette quali 

 asintotiche effettive è determinata a meno di movimenti e di 

 simmetrie, poiché se 1' elemento lineare (5) riferito alle (a p) 

 prende la forma 



(6) ds^ = E, da' -\-2F^dad^^ G^ d%^ , 



la seconda forma fondamentale della superficie è data da 



(7) ± ^^^■^'~^'' da dS, 



p 



dove p è determinato dalla 



(8) K=-^.. 



p- 



Fissato un punto e le due asintotiche a e 3 uscenti da 

 esso, per riconoscere se due superficie che ammettano il doppio 

 sistema di caratteristiche (a 3) sono uguali o simmetriche, basta 

 vedere se nelle due superficie la linea a (oppure la linea 3) ha 

 la stessa torsione oppure torsione opposta: in altri termini, se 

 procedendo lungo la linea a (o lungo la linea B) si veggono i 

 piani tangenti alle due superficie rotare nello stesso verso oppure 

 in verso opposto (^). Il teorema di Enneper ci assicura che il 

 criterio è indipendente dal considerare le due linee a oppure le 

 due linee 3. 



Se le linee (a 3) sono asintotiche virtuali per l'elemento 



(') In questa seconda forma il criterio vale anche quando l'asintotica 

 a (o 3) è una geodetica di (5), e quindi è una retta. 



