SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE 



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lineare (5), le ii, v, considerate come funzioni di a e 3, soddi- 

 sfano alle equazioni {di Darboux) 



dadg 



ò logp 

 òu 



(9) 



) l S 



du 





du òli I 

 d^ ÒP ^ 



1 ò logp 



2 òi( 



1_ òlogp _ \ 12 ^ 

 2 dv U ^ 



òu òv 



+ 



ò&òa 



-ri 



òli ò» [ 



òa ^ ' 

 22 1 òiòv 

 \ òa dP 



ì 2 ) 



òu òv ( d« ò 

 ^ ò P ~'~ òp ò a , 



+ 



òlogp __ ^ 22 ^ 



òt; / 2 S 



òv òr 

 òct òP 



Ed inversamente, se si ha una coppia di funzioni indipen- 

 denti w(a3), v{o.B), soluzioni di (9), il doppio sistema di linee 

 (a 3) è per l' elemento lineare (5) un sistema di asintotiche 

 virtuali. 



Come ha osservato il prof. Bianchi, al sistema (9) si può 

 applicare il metodo delle successive approssimazioni del Picard. 

 Precisando: si supponga che quando u e v variano in un certo 

 campo A, ad es., quando lw|<a, |^?!<« le funzioni E, F, G 

 e le loro derivate dei primi quattro ordini rimangono continue 

 e inferiori in valore assoluto ad M: e sia M^ il massimo valore 



'tu òu òv òv 



dei secondi membri di (9) quando (uv) è in A e 



òa' ÒP' òa' ÒB 



restano in valore assoluto inferiori a b. Si prendano due curve 

 r e fi arbitrarie, ma non tangenti, uscenti dal punto ti = v = 

 come curve a = e 6 = 0: e per fissare le idee, misurino a e p 

 gli archi di T e T' a partire da u = v = 0: siano esse 



'-.' I z 



u{a,0) = f(a) i' (a, 0) = qp (a) 

 u(0,^) = f\{<}) r (0, 3) = (Pi (8) 



E si supponga che le derivate prime di /"(a), q)(a), f^ (8), 

 qPi(8) esistano e siano inferiori a ò in valore assoluto finche 



|a|<^, I3|<^. 



Se si indica con p il minore dei numeri g, -7^ , — , il metodo 



I Mi -"1 



delle approssimazioni successive ci permette di aifermare che 



esiste una coppia di funzioni «(aP), r(ct P) le quali nel campo 



definito da |a| < p, | p | < p danno punti {uv) appartenenti a A, 



