300 EUGENIO ET,IA LEVI 



ammettono derivate prime finite e continue ed inferiori in mo- 

 dulo a h, ammettono le due derivate miste anche esse continue 

 ed inferiori in valore assoluto a M^ , soddisfano a (9) ed hanno 

 i valori iniziali (10). 



Ed il metodo delle approssimazioni successive ci permette (^) 

 inoltre di affermare che la soluzione u(a^), v(a^) trovata è 

 la sola soluzione di (9) la quale soddisfaccia alle condizioni ini- 

 ziali (10). Infine si osservi che se 6 è l'angolo delle curve f e 

 r, nel punto a =: p = si avrà 



òM^ìf'iO) q)'(O) 

 d(ap) \f\{0) (p'i(O) 



= sen e 4= 0, 



e quindi in un campo conveniente le due funzioni u v sono ef- 

 fettivamente indipendenti e ci determinano un doppio sistema 

 di asintotiche cui appartengono le curve iniziali V e V^: e che 

 questo sistema è unico. Possiamo dunque dire: assegnate due 

 curve arbitrarie a tangenti distinte, esiste sempre ed è deter- 

 minata a meno di un movimento o di una simmetria una su- 

 perficie deformata della data che ammette quelle curve come 

 asintotiche (^): ed anzi si ha di piìi che la superficie è deter- 

 minata a meno di un movimento se si assegna in un punto 

 arbitrario di una di queste asintotiche il segno della torsione. 



5. — La proposizione precedente ci suggerisce immediata- 

 mente la via che seguiremo nel dimostrare il nostro teorema: 

 prese due superficie isometriche S ed 8' si considerino le coppie 

 di asintotiche f e r^ , f e V\ di S ed S' uscenti da due punti 

 corrispondenti e si determini una successione di coppie di curve 

 r e Pj non mai tangenti e tali che permettano di passare con 

 continuità dalla coppia f, fi alla coppia f, V\ : la successione 

 delle superficie S corrispondenti permetterà di passare con con- 

 tinuità da S ad 8' oppure alla sua simmetrica. 



(') Seguendo un ragionamento analogo a quello con cui si dimostra 

 l'unicità delle soluzioni delle equazioni a derivate ordinarie. Cfr. Goursat, 

 Cours d'Analijse, voi. II. pag. 372. 



(^) Questa osservazione ci permette di enunciare i teoremi B) C) della 

 nota del Bianchi togliendo l'ipotesi di essere nel caso analitico. 



