SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE 301 



Però l'ultima parte del ragionamento del n. precedente ci 



dice soltanto che ^-7^^ ^ diverso da zero in un conveniente 



campo di variabilità per u, v o per a, fB: perchè le conclusioni che 

 vogliamo trarre siano legittime occorre dimostrare che esiste 

 un campo in cui tutte le S esistono: occorre cioè trovare un 



campo nelle variabili uv, in cui certamente sia sempre ^y^^- == 0. 



Supponiamo perciò che le funzioni /"(a), qp (a), fi(^), cpi (p) 

 abbiano derivate seconde finite e che il numero b definito al 

 n. 4 sia anche maggiore di tutto queste derivate. In questa ipo- 

 tesi ricordando che già si suppose che le derivate quarte di 

 A', F, G esistano e siano minori di M, esisteranno pure nel campo 

 I a I < p, I P I < p tutte le derivate seconde di u, v, e saranno 

 inferiori ad un numero N dipendente solo da è e da M. 



Quindi si potrà ancora trovare un numero N^^ dipendente 

 solo da J e da ilf e maggiore numericamente delle funzioni 

 ò lòiuv) \ ò I diuv)\ . j. . 'Idiuv)' 



ò^c [ òTaP) Hv[ Ò'(a3) ) ' ^""^^^^ ^^ supponiamo 



I sen 0| > |j, fissato un numero arbitrario e < )ii, potremo trovare 

 un numero Pi < p tanto piccolo che per |a|< Pi, |p|< Pi l'o- 

 scillazione di N y 4t » ^^ quale è < 2A"iPi , sia minore di )li — e, 



e quindi tale che in tutto questo campo risulti .. "g. > e in 



valore assoluto. Pi dipende solo da e, n, b, M. 



Si noti infine che il campo | « | < Pi , | p | < Pi ha per im- 

 magine in {h v) un campo I variabile a seconda delle curve 

 iniziali (10), ma contenente sempre nell'interno il campo in cui 



I " i '^ ~a"' ' l '^ I "^ "a^ ' poiché si ha 



ò (a3) ) I a = p = 



Rimane quindi totalmente eliminata l'obbiezione posta in- 

 nanzi pili sopra; basterà supporre che la successione delle curve 

 r, fi sia tale che l'angolo acuto che esse fanno non scenda mai 

 al disotto del minore degli angoli di f, f^ e di f, f'i perchè si 

 abbia una effettiva successione di superficie che permettano di 

 passare con continuità da S ad & od alla sua simmetrica. 



