362 ERNESTO LAURA 



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i quali gruppi poi sono rispettivamente il i° e 2° gruppo para- 

 metro del gruppo le cui equazioni in termini finiti sono le (89). 



Usando dei metodi prima spiegati non è allora difficile ri- 

 durre l'integrazione sia del sistema (VII), che quella del 

 sistema (Vili) alla integrazione di un'unica equazione di Riccati, 

 e ciò senza quadrature. 



Consideriamo ancora il sistema (VI) e determiniamo le 

 «i>oi2»«3 per modo che il sistema (VI) venga a coincidere con 

 il sistema (II), ciò equivarrà a ricercare le trasformazioni (38) 

 a coefficienti variabili che trasformano in se il sistema (II). 



Nel 2<> membro della 1* equazione del sistema (VI) egua- 

 gliano il coefficiente dì il a e, quello di Eg a h, ed il termine 



noto, escluso il termine: 



* 



^ (g2-n2)fe-g2) 



tl2 - Z. 



ad a risolvendo le equazioni che così si ottengono nelle -rr» 



—~ , -r otteniamo il sistema: 

 at dt 



1 ^ = «(«3— «2) + 2èai— cai(a3— a,) 

 (IX) ^ ^ = a + òtta + c(ai + ai — agOg) 



7^ = — « + ^«3 + ^'(— «3 + «203 — «0 . 



Questo sistema, quando a, b, e sieno considerati come para- 

 metri, è un sistema di Lie collegato con il gruppo intransitivo : 



X/^ („,_„,)^Ìf + ^^^^^ 



X4 = + 2ai — ^a^ ^^ + a3 — 



^3/- -ai(«3-a2) ^^ +(a,-f «1-0203) ^^ + {-o.l-^a,a,-^,)^^ 



il quale si mostra facilmente essere simile al gruppo delle ro- 

 tazioni dello spazio ordinario attorno di un punto. Esso ammette 

 perciò un unico invariante, che sarà ovviamente un integrale 



I 



