SULLA INTEGRAZIONE DI UN SISTEMA, ECC. 363 



del sistema (IX). Questo integrale si può determinare o come 

 integrale comune alle equazioni alle derivate parziali 



X,f=X,f=X,f=^ 



oppure, il che poi è lo stesso, osservando che dal sistema dif- 

 ferenziale (IX) identicamente si jicava: 



(ao-[-a3)c?ai+ (agOg — a|— 2ai)c?a2+ [o-^^z— 20^— a|)(ia3— 0. 



Il trinomio differenziale del 1" membro ammette il fattore 

 integrante : 



_1 



(a, + a^f 



e quindi l'invariante cercato sarà: 



(41) ia, + (a^a3)l_^^ 



essendo li una costante arbitraria. 



Riducendo il sistema (IX) usando di questo integrale cono- 

 sciuto ci riduciamo al sistema: 



1 'li^ ^ '^ -[-^«2+ co\ — cttatta + ~ [/i(a2+ ^zf— («2 — «s)'] 



( '^= — «l-^«:i— t-'aH-cctaa^— ^ LMa2+a3)^ — («2— «3)']- 



L' integrazione di questo sistema si riconduce a quella di 

 un'unica equazione di Riccati. Il metodo che si può seguire è 

 il solito. Si considerino i due gruppi: 



1 Vr df I ^f 



\ Vf = a^ -— 4- ao, -^ 



Zf^U- Sdì + 2a2a:, + a^- h {a, + «3)^ J |f 



Dao 



+ l |3a^-2a2a3-ai+^(a,-|-a3)^]^ • 



