SOLLA INTEGRAZIONE 1»I UN SISTEMA, ECC. :^65 



che tnutano in sé il sistema (II), si otteìigono ponendo nelle (44) 

 in luogo di a^,a.2,(i^ una qualunque sohizioìie del sistema (IX). 

 L'integrazione di questo sistema equivale a quella di un'unica equa' 

 zione di Riccati. 



Del sistema (IX) sia conosciuta una soluzione ■ — il proce- 

 dimento prima indicato fornirli due soluzioni dell'equazione: 



,- = a + At 4- CT-' . 



Con una ulteriore quadratura otterremo dunque l'integrale 

 generale sia del sistema (XI) che del sistema (IX). Si noti su- 

 bito la differenza che vi ha tra i sistemi (VII) (od VIII) ed il 

 sistema (IX); l'integrazione di entrambi questi sistemi equivale 

 a quella di un' unica equazione di Riccati — la conoscenza di 

 una soluzione del sistema (Vili) è sufficiente per scrivere senza 

 quadrature ulteriori il suo integrale generale, mentrechè cono- 

 scendo del sistema (IX) una soluzione occorrerà un'ulteriore 

 quadratura per formare il suo integrale generale. 



La ragione di un simile fatto consiste sostanzialmente in 

 in ciò: il gruppo con cui è collegato il sistema (VII) è un gruppo 

 semplicemente transitivo, il gruppo con cui è collegato il si- 

 stema (IX) non è invece tale. 



Del sistema (II) sieno conosciute due soluzioni 



El" ni" ^\" 

 sf) nf t^ 



Determiniamo le a,. 02,013 in modo da soddisfare alle 

 equazioni*: 



• ■ z(2) _ «I + a-i^i*" 



^ ^ \ "^^ ~ a. + n.'»' 



f r(2) __ «1 n- «2^1'" 



\ ^' — a^ + r.d) ' 



