SULLA INTEGRAZIOME hi UNT SISTEMA, ECC. 371 



e quindi le a^, ttg, a-, soddisfano al sistema differenziale: 



((^«1 \ t -s. a\ Q^" («1 — a3)(aj — a,) 



,- = — a + fr — a — 6)a, — Par -4- a -^ — ^-^- — ^- 



(XVII) 5 = _ a -h (T - a - 3)«2 - P"! + P ^-^^-^ 



(ti Cli — Uj 



(ìt ' ^ K^ d r .1 I I a,— a, 



* 

 Operiamo sopra questo sistema la trasformazione 



(52) B. = ^« j(«i-«-^) + «.(a,zLg3) •_ ^^ 2, 3 



1g i>i, /?2? /'a indicando tre soluzioni distinte dell'equazione di 

 Riccati 



^ = -a + (T-a-P)a-pa-^. 



Tenendo presenti le formole prima stabilite, il sistema (XVII) 

 assume la forma: 



^ = -a + {T-a-Wp.. 



ossia le Pi, ^2» P3 soddisfano alla stessa equazione di Riccati — 

 si conclude: l'integrazione del sistema (XVII) dipende da quella 

 di una unica equazione di Riccati. Il metodo qui seguito non lascia 

 scorgere come si dovrebbe procedere per l'integrazione del si- 

 stema (XVII) quando di quest'ultimo fosse conosciuta una so- 

 luzione. 



Il sistema (XVII) è un sistema di Lie collegato con il gruppo 



[ AT- (1 + a. - A) -^ + (1 + «.) yi +(1 +a.) Il 



(53) r/'-(a,+ aD ^^^-^(a^ + ai-A) ^^„^^ +(a3-l-aD^^ 



Zf = ai -^^^ + 02 4-^- + (a, + A) 5 



