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Esistono cubiche a coefficienti razionali sulle quali si trova 

 una tal configurazione di punti razionali. Per dimostrarlo stabi- 

 liremo dapprima che è possibile una tal configurazione intera- 

 mente costituita di punti razionali : si può intanto suppor scelto 

 il sistema delle coordinate in modo che 



^E^(OOl) J2 = (0 10) J,^(10 0) ^3 = (111). 



A causa degli allineamenti AA^At, ^12.14^7 dovrà allora 

 essere 



^7-= (110), 



ed a causa degli allineamenti AA2AQ, AA^A,, si potrà porre 



A, = {Oa^l .J, = (tOò). 



Esprimendo allora che si verificano gli allineamenti A^A^^Ag, 

 A.iAr,Ai^ si ottiene 



A, = (Pt, otò - (a — P)T, 3ò) 



ed esprimendo quindi che le rette ^3-4,;, A^A^, A^A-j passano 

 per uno stesso punto A^^ si ottiene la condizione 



a y (t — &) 



y — T^ - T& + b-2 ' 



ove si dovranno scegliere per x f> interi arbitrari, risultandone 

 determinati di conseguenza a e 3. 



Cosi determinato l'enneagono AAi...Ag, si vede agevolmente 

 che esiste una ed una sola cubica per cui esso è poligono di tan- 

 genziali. Si consideri infatti il fascio di cubiche definite dagli 

 8 punti base AAi...A-^; ad esso appartiene la cubica costituita 

 dalle tre rette AA^A^, A^A^Aj, A-^Ao,A^^, e poiché questa ha 

 punto doppio in A.2, tutte le cubiche del fascio hanno in A^ la 

 stessa tangente. Ma al fascio appartiene pure la terna di rette 

 A2A0,, AA^^A^, AiAi,At; la tangente fissa è dunque -42^3. Si 

 consideri in particolare la cubica del fascio passante per A^ : 

 si avrà che la cubica circoscritta all'enneagono AAi...A^ ha in Jg 

 la tangente ^2^3- Por simmetria si conclude immediatamente 

 che in generale la tangente ad essa nel punto A; è la AjA^^i 

 (in A^ è la A^^A), cosicché l'enneagono AAi...A>^ vi è poligono 

 di tangenziali; e la cubica è evidentemente a coeff. razionali. 



