TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 417 



La sua equazione dipenderà ancora da un parametro razionale 

 p=zz^ Riferita al sistema di coordinate sopra descritte sarà: 



(3) {p —2){j)^—p^ 1) xi/{x — ij) — p- {p — 1) x^z 



— pip^ — ^P'^ ~{'^P — 'Ì^)xi/z — p{p^ — p-\- l)y''^z 

 -]- p'^ip — l)xz^ — P^ip — l)y^^ = ^• 



Chiameremo e? (9) la configurazione di punti razionali ora 

 descritta. Se, almeno per convenienti valori di p, possa la cu- 

 bica (3) contenere altri punti razionali, naturalmente non razio- 

 nalmente deducibili da AAi...Ai^, e questione che resterebbe 

 ancora a discutersi. 



5. ^ = 11. - Per ^ ^ 11 non ci è riuscito di assodare la 

 esistenza o la non esistenza di una corrispondente configurazione 

 di punti razionali sopra una cubica a coeff. razionali. Cionon- 

 dimeno il problema relativo subisce una riduzione che pare 

 interessante per se stessa. 



Dal punto Al ^^ì si deducono razionalmente, per costruzione di 



f'inyetiziali successivi, i punti Ai 1 — -r^ | , A2 ( oo" ) > A3 f — ^U 



^i("qq"h ^^ tangenziale di quest'ultimo punto è di nuovo A. La 



ritta AA2 taglia poi ulteriormente la cubica nel punto A^' — ^ 1 . 

 da cui, per costruzioni successive di tangenziali, si deducono i 

 p.nU A'(^), V(J|i), A/(|^), A3'(-^): U t.n,en. 

 ziale di quest'ultimo è di nuovo A4'. Le rette Kiki concorrono in 

 un 11-mo punto razionale della cubica, Aq! — -ì, flesso. Si esau- 

 riscono così i punti razionalmente dedotti da A. La configurazione 

 si compone di due pentagoni di tangenziali, i cui vertici sono a 

 coppie allineati col flesso Aq. Reciprocamente se sopra una cubica 

 un punto A, di coordinata ellittica a, è vertice di un pentagono 

 di tangenziali, deve esistere un periodo io tale che ( — 2)^a=a — uu 



onde a = — . Si otterrà dunque una cubica sulla quale il punto 



.1 ^^ (1 0) è origine di una configurazione quale quella qui con- 

 siderata, imponendo che nella cubica (1) del n. 5 della Nota II 



(4) g^{x — z) — yx[ax — {a -\~ b)z] — bxz^ = 



