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BEPPO LEVI 



la tangente nel punto A^ = {ìl 1) incontri ulteriormente la cubica^ 

 in un punto ^4 la cui tangente passi per A. Il pentagono di 

 tangenziali avente A per origine avrà pervertici A,Ai={()0\), 

 A2~{010), yls, -^4, e sarà interamente costituito di punti razio- 

 nali, e la cubica medesima avrà coeff, razionali (1) tosto che /I4 

 è razionale. 



Orbene dimostreremo la proposizione seguente: Nella rete 

 di cubiche (4) quelle per cui il punto ^4^(10 0) è vertice di un 

 pentagono di tangenziali, costituiscono un sistema 00 ^ ellittico in 

 corrispondenza hirazionale a coefficienti razionali coi punti della 

 cubica del tipo (1) n. 2 in cui b = — 1, Tal cubica è precisamente 

 il luogo dei punti ^4 per le varie cubiche del sistema. 



Si esprimerà infatti che la tangente nel tangenziale di A-^. 

 passa per A, dicendo che passano per uno stesso punto (^4) la 

 cubica (4), la sua tangente in A^ 



(5) (l—a)x-^by + {a — b—\)z = i) 



e la conica polare di A rispetto ad essa 



(6) 



y' 



2axy -[- {a -{- b) yz — 02^ = 0. 



Eliminando a e ó fra le tre equazioni si ha che il luogo 

 del punto comune alle tre curve è dato da 



ossia 



z — X y — z X — z 



yx{z — x) zx{y — z) y^{x — z) 



y{z — 2x) z{y — z) if 



y{y — z){z — x) 



y ^ 



X y 



z X — z y 



= 0. 



Non tenendo conto dei fattori lineari, cui corrispondereb- 

 bero cubiche (4) degeneri si ottiene così come luogo del punto ^4 

 la cubica 



(7) 



y'^x — y'^z — x'^z -[- yz'^ = 



