TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 419 



che si riconosce identica alla (1) del n. 2 ove si ponga b = — 1 

 si scambino x e z. Questa cubica passa pei punti (0 1), (1 0), 

 (0 1 0), (1 1 1), (0 1 1) che vi costituiscono la configurazione ^^5). ma 

 se il punto A^ è uno di questi, la cubica (4) si spezza. Per sa- 

 pere se esistano cubiche a coefficienti razionali su cui la confi- 

 gurazione relativa a ^ = 11 sia costituita di punti razionali occor- 

 rerà quindi decidere se, oltre questi punti, la cubica (7) possegga 

 altri punti razionali. 



Cotifigiirazioni poligonali miste, 



6. — Abbiamo chiamato configurazioni poligonali miste 

 (Nota II, n. 2) quelle che corrispondono a valori di t prodotti 

 di un numero dispari per una potenza di 2. Dalle conclusioni 

 della detta Nota si può già dedurre che su una cubica a coeffi- 

 cienti razionali non potranno esistere configurazioni poligonali 

 miste di punti razionali corrispondenti a. valori di t in cui il 

 fattore 2 abbia esponente >3. Invero si è osservato (Nota II, 

 n. 4) che, se il nucleo della configurazione contiene un flesso, 

 questo è estremo di un ramo appartenente alla configurazione 



arborescente corrispondente al parametro ellittico iniziale -~ , 



se t = 2'.t' e t' dispari. Confrontando colle conclusioni del n. 11 

 della stessa Nota risulta allora che se la configurazione poligo- 

 nale semplice corrispondente al parametro ellittico iniziale -^-r 



ór 



contiene un flesso non può essere v>3. Ma immediatamente 

 si vede pure che l'ipotesi dell'esistenza del flesso è superflua: 

 invero si è già notato nella Nota l-'^ che, se una cubica a coef- 

 ficienti razionali contiene un punto razionale, esiste una sua 

 trasformata razionale sulla quale a quel punto corrisponde un 

 flesso (razionale): e se quel primo punto apparteneva al nucleo 

 di una configurazione poligonale mista, questo flesso apparterrà 

 anch'esso al nucleo di una configurazione poligonale mista corri- 

 spondente a un divisore t in cui il fattore 2 ha lo stesso esponente. 

 Occorre però riesaminare caso per caso le configurazioni che 

 per questa semplice osservazione risultano ammissibili. Vedremo 

 che non tutte esistono realmente:- posto in generale t=.2\t' 

 {t' dispari), vedremo anzi che il valore massimo di v per cui 



