TEOKIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 421 



La retta 'j -\- x — ^ = è la polare armonica del flesso A^^i 

 le sue intersezioni colla cubica sono determinate dall'equazione: 



b.rH!, + .v) + !,Hy-x) = iK 

 e si potrà sonare disporre di b, mantenendolo razionale, in modo che 

 una soluzione '- di questa equazione sia razionale : basterà sce- 

 gliere arbitrariamente un a razionale e porre 



aHa. + 1) • 

 L'equazione delia cubica diviene 



(9) //(// - -r) (.r - ^) + -^.^^"^L ^.(^ _ ,) ==. ,). 



9. t' = 1, t = 14: - Del pu ufo AM-t^I è tangenziale il punto 



A ( -,-) origine di una configurazione cf(7) (n. 3); oltre i punti 



'li questa configurazione saranno razionalmente dedotti da esso 

 litri 6 punti urenti per tangenziali rispettivamente gli altri 6 punti 

 'li questa ; e se una cubica razionale possiede una configurazione 

 del n. 3 di punti razionali un punto della quale sia tangenziale 

 di un punto razionale, possiederà, di punti razionali, tutta la 

 la configurazione di cui è questione. Ma dimostreremo che non 

 . può esistere una fai configurazione di punti razionali sopra una 

 ''ubica a coefficienti razionali. 



Riprendiamo perciò l'equazione (2) del n. 3 cui si riducono 

 tutte le cubiche corrispondenti a t multiplo di 7 



• {>t\ ■>/• \ / (t- + a — 1 \ a — lo,,/ • \ 



(Jj //-(.r — z) — gx\ax — z j xz^=(^ {a razion.j. 



Il flesso A,- ha per coordinate (1 a a); la sua polare armo- 

 nica rispetto alla cubica è 



a{x — y) — {a — ì)z === 0, 



1 e le intersezioni di questa colla cubica aono definite dall'equazione 



(10) «2,r^ — a{2a — l)x'z ~\- a{a — ì)xz' -f (a — 1)2^ = 0. 



