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Si consideri questa come una equazione in a; se potesse 



esistere una cubica a coefficienti razionali in cui un punto A'I-r^) 



fosse razionale, dovrebbero esistere valori razionali (interi) per 

 X e z per cui le radici di questa equazione siano j'azionali; sia 

 cioè quadrato il suo discriminante 



«2[(.r2 J^ _rz + ^2)2 _ 8a;2^2]. 



Occorre perciò che sia quadrato il secondo fattore e perciò 

 che, p e q essendo numeri interi convenienti, possa porsi 



,r''* -\- xz -j- z^ -■= p^ -\- 2rf j 



xz^=pq. * 



Segue 



{x — zY = p^ — ^pq + 2^2 — (^p _ ^) Q, _ 2q). 



Si osservi che x e z possono supporsi primi fra loro ; do- 

 vranno allora esserlo pure p e q, e quindi ^j — q e p — 2q: questi 

 due numeri dovranno quindi separatamente esser quadrati. 

 Poniamo 



p — q = m^, p — 2q = tì^ onde x — e = mn. 



Sarà 



p = 2m^ — n^, q = m^ — n^ 



{x -\- z)- =p^ -\- pq -\- 2(f = Sm^ — ìhn'n^ -f- 4w* 

 ossia, ponendo x -{- z = t, 



m''{8m^ — 11^2) = {t — 2n^) {t 4- 2n'). 



Per discutere in modo sistematico questa equazione, osser- 

 viamo anzitutto che i due fattori del 1° membro debbono essere 

 primi fra loro, in particolare di parità diversa ; ^ ed w non pos- 

 sono avere fattori comuni diversi dal 2 e quindi lo stesso avviene 

 pei due fattori del 2° meìtibro ; inoltre non può essere f divi- 

 sibile per 4 ed n pari, altrimenti sarebbe pari anche m: quindi 

 dei binomi t — 2n.^ e t -{- 2nr uno non possiederà mai il f attor 2 



