TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 427 



Segue 



2{2^12 _ 11H2) ^ _4- (t4 _ 7(fi), 



onde 



2K+122 ^ -f_ (^4 -4- 22a2T2 — 7a4). 



Si ricordi che k è dispari e quindi k -[- 1 è pari ; l'equa- 

 zione ottenuta rientra allora nel tipo (12) o nel tipo (13) secon- 

 dochè si sceglie il segno inferiore o il superiore. Ora si è già 

 mostrato che le equazioni della forma (12) non ammettono solu- 

 zioni. Nel caso che si riproducesse la forma (13) si osservi che 

 nella nuova equazione a è sostituito da e che si ha a = Zta; 

 è quindi icy|<Iaj a meno che JZ[|=:|t|=: 1. In questa ipotesi 

 l'equazione diviene 



2K-M — 1 -|- 22a2 — 7a* 



e risolvendo questa equazione si vede che a non può essere 

 intéro se non è k = 3 e la soluzione intera è allora |cr| = l. 

 Segue !EI = 1, Iti! = 4, !t| = 1, |al = l. 



Così l'ammettere che l'equazione (13) abbia soluzioni in 

 valore assoluto =!= 1 ha per conseguenza che essa ha pure altre 

 soluzioni, ancora =h 1 in valore assoluto ed in cui |a[ ha valore 

 minore. Questa diminuzione non potendo protrarsi indefinita- 

 mente, deve concludersi che tali soluzioni di modulo =4= 1 non 

 possono esistere. Adunque l'equazione (13) non ammette solu- 

 zioni (in cui le incognite siano =\^ 0) che per 



\a\ = \'f\ = \m\=-^ = \n\ = p = l, q = () 

 |.r|=^l, ^ = x = 0, \z\ = l. 



Allora a = Oo«^lela cubica (2) degenera. 



Le soluzioni di (13) in cui qualche incognita (la quale non 

 può essere che a) è nulla sfuggono alla precedente analisi, a 

 causa delle considerazioni relative allo spezzamento in fattori. 

 In tale ipotesi m = a8 = 0, x — z = ì}tn = 0, x=:z, onde, per 

 la (10), «1=1; la cubica (2) degenera ancora. 



Risulta cosi provata l'impossibilità enunciata al principio 

 del n. lo. — Riassumendo quindi, esistono, sopra cubiche a coeffi- 

 cienti razionali, configurazioni poligonali miste di punti razionali 

 Atti della R. Accademia — Voi. XLIII. 32 



