TEORIA. ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 431 



e tali coppie di punti coincideranno se 



p'(p+g)M— g'(p— g)_. p\p + g)M^ — (f + p\ + PT — g'')M + g^(/> — ^y) _ 

 {p + 9)' (jf — qf ip"^ - p''q—pq^-\-q^){p-\-q)\i-ip^^'Ph—pq^-q%i—q) 



Mg(p — g) 



~~ fxYip + g) — m( p' — p^g + p^ + g^) + pqip -g) * 



La prima di queste equazioni è identicamente soddisfatta ('): 

 resta cosi un'equazione la quale, dopo soppressione della solu- 

 zione u := - ^ 7 ^ , che corrisponde alla retta A, A' a, diviene 

 p-r-q 



pHp + q)^' — ^p'i'^ + qHp - 2) = 0. 



Affinchè ^4 e B'^ siano razionali occorre anzitutto che la 

 corrispondente radice di questa equazione sia razionale, e perciò 

 dovrà esser quadrato il suo discriminante 



Si può supporre p e q positivi : infatti questo discriminante 

 non muta se si cambiano di segno p Q q, onde y; può sempre 

 assumersi positivo ; se poi q fosse negativo e precisamente 

 q = — 2', il discriminante medesimo diverrebbe 

 I 



p'q'H-']"+pq'^p') 



ove p e q' sarebbero positivi, e quest'espressione non differisce 

 dalla precedente che per la sostituzione di q' e p risp. a. p e q. 

 p e q dovendo esser primi fra loro, dovranno esser quadrati i 

 singoli fattori, onde potrà porsi 



p ^= r^ q = s^ 



(U) s^ J^ ì'H^ — r^ = r- ■ 



r, s, t interi primi fra loro a due a due. 



(') Si può verificarlo per via analitica, ma può pure prevedersi con una 

 semplice osservazione geometrica: la retta polare di A,, rispetto alla conica 

 polare di À-^ coincide colla polare armonica di ^4 (flesso) rispetto alla 

 cubica. Ne segue che ogni retta x — y = \iz passante per A., sega la conica 

 e la cubica in due coppie di punti rispetto a cui A^, ha lo stesso coniu- 

 gato armonico, ossia, poiché Ai, è punto all'oc (^-^zQ). lo stesso punto medio. 

 È ciò che è espresso dall'eguaglianza identica rilevata nel testo. 



