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L'equazione (14) può scriversi 



f'{s'^ — r2) = t'' — s^ = {t — S^) {t + ò'2). 



Si osservi che s non può essere pari: infatti se s fosse pari, 

 il P membro della (14) sarebbe = — 1 (mod. 4) e quindi non 

 quadrato, a meno che r = Q, nel qual caso la cubica degenera 

 in una terna di rette ; dovrà quindi esser pari r^ o (s^ — r~) e 

 quindi saranno pari t — s^ e t -\- s^. Potrà porsi 



r = 2ap s^ — r^ = ^b se r pari 

 r = ap s^ — r^ = 4Tb „ r dispari 



a, 8, T, b primi fra loro a due a due, a dispari. 



Nell'ipotesi di r pari si ha quindi 



^2 — 325 _ «2^ = Yb + 4a^3^ 

 onde 

 (15) 32(0 — 4a2) = T(b + a-'). 



Nell'ipotesi di /• dispari invece 



s^ = 3^'ò — a'^T = 4Tb -f a2p2 

 32(0 — a2) = T(4b + a'). 



Ma, ponendo 4b := b', 4t = t', quest'equazione prende la 

 forma ^^{b' — 4a2) = T'(b' -|- a^) identica alla (15): possiamo 

 quindi limitarci a trattare quella prima equazione, purché non 

 si escluda che t e b possano avere un fattor 4 comune. 



b ed a essendo primi fra loro, b — 4a'^ e b -|- «^ non pos- 

 sono avere altri fattori comuni che eventualmente un fattore 5. 

 Se tal fattore non esiste, la (15) può solo soddisfarsi con 



b — 4a- = T b -f a'^ = P^ 

 b = 3-' _ «2 Y = p2 — 5a2. 

 Allora 



s2 = p* — 2a23=^ -f ha'^. 



