TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 433 



Se quel fattor 5 esistesse sarebbe invece b — 4a2 = 5Y, 

 b-|-a-=5B2 e si giungerebbe all'equazione s- =:a* — 2a2p2_|_5p4 

 che differisce dalla precedente solo per lo scambio di a e p. Con- 

 sideriamo dunque solo la prima equazione : essa può scriversi 



s2 = (p2 _ a^Y -f 4a-i; 



da cui segue che P^ — a^ e a^ debbono avere le forme 

 32 — a2 = tn^ — n^^ a^ = ìnn. 



Perchè siano primi fra loro a e P, debbono esser tali m ed n : 

 devo dunque essere 



m = T- n = (J2 



Si ottiene così una nuova equazione della stessa forma 

 della (14), dove a ha preso il posto di /■. Ora dalle relazioni 



r = a^ =: 2a3, «2 = mn n = o^ 



segue 



\a\<\r\ 



potendo valere il segno = solo se 



\^\ =m=t' = l onde = p2 _ i = a2(l — a2). 



Questa uguaglianza può solo verificarsi per 



\G\ = Ì, a2 = l, s^z=4 

 ovvero per 



a = 0, a = 0, s' = l, r=0. 



La seconda ipotesi fu già esclusa, essendosi escluso che r=0; 

 nella 1* ipotesi, per conciliare l'eguaglianza trovata s^ = 4 col 

 fatto che Vs della nostra questione deve essere dispari, deve 

 ammettersi che l'equazione (15) non sia l'equazione vera del 

 nostro problema, ma l'equazione modificata, come si disse, nel- 



