434 BEPPO LEVI — TEORIA ARITMETICA, ECC. 



l'ipotesi di r dispari; allora |sl=:|r| = l e la cubica si spezza 

 ancora in una coppia di rette. 

 Deve dunque essere 



\<\(5\<\r\. 



Dall'ipotesi che l'equazione (14) ammetta una soluzione intera 

 in cui lr| > 1 segue dunque che essa deve averne un'altra per | 

 cui \r\ è minore, ma sempre >1; r dovendo essere intero, ne 

 seguirebbe un assurdo decremento illimitato del valor assoluto 

 ch'essa può assumere. 



13. — Il solo valore di t' {<!) che sia compatibile con v = 2 , 

 è dunque t' = 3. Resterebbe a ricercarsi se tal valore di t' sia 

 ancora compatibile con v = 3 : questa ricerca presenta notevoli 

 difficoltà aritmetiche e noi l'abbandoniamo per ora : riservo ad 

 una Nota IV alcune altre considerazioni, di diversa indole sopra 

 le configurazioni finite di punti razionali. 



Come già nella Nota II, rilevo, chiudendo, fra i risultati 

 aritmetici delle precedenti discussioni, la dimostrazione della 

 non risolubilità in numeri interi delle equazioni: 



(12) ix^ + 22xY — y^ = «^ 



(13) x^ + 22xV — li/ = ^2 (per |^|=1=0, 1) 

 [e, per combinazione di queste, dell'equazione 



2^x^—nxy-\-2^-^ì/^ = z^ (per \x\, \y\^0, 1)] 



(14) x^-\-xY — y^ = z^ (per \y\^ 0, 1). 



