438 EUGENIO ELIA LEVI 



Hcie laterale sia cilindrica e che la k sia positiva (*), Tuttavia 

 anche nel caso generale il teorema di unicità è vero ; nel caso 

 in cui la K sia negativa e la superficie sia cilindrica esso fu 

 già dimostrato mediante gli sviluppi in serie di funzioni ecce- 

 zionali (=^). Io ne darò in line al lavoro una dimostrazione per- 

 fettamente generale (n. 7). 



Ridurrò il problema allo studio di un' equazione integrale 

 di Fredholm che, come le analoghe di (A), ha molte analogie 

 con le particolari equazioni studiate dal Volterra. Ciò fa sì che 

 non mi occorrerà mai di supporre nota la teoria del Fredholm 

 per la dimostrazione di esistenza: invece la supporrò nota per 

 dimostrare il teorema di unicità. 



2. — Tratterò il caso di n = 2: nessuna difficoltà porte- 

 rebbe il caso di un maggior numero di dimensioni, tolta qualche 

 complicazione nelle notazioni. E sarebbe anche piìi semplice 

 , trattare il caso di n = 1: non scelsi questo caso appunto per 

 evitare quelle particolari condizioni che lo semplificano. 



Il campo che considereremo sarà limitato da un'area (base) 

 posta sul piano ^ = che chiameremo A-: e da una superficie 

 laterale che chiameremo s: s potrà essere una superficie cilin- 

 drica, più in generale una superficie regolare che ammette 

 piano tangente e curvature finite : per essa si supporrà di piìi 

 che il piano tangente formi sempre un angolo finito >0>O coi 

 piani caratteristici (•^). 



Indicheremo con s{y') la parte di s che si trova al disotto 

 del piano ì/ = ij', con c{i/') la curva sezione di s col piano y = y' ^ 

 con S{y') lo spazio racchiuso da s, dal piano y = e dal piano 

 y = y'. Sarà quindi c(0) il contorno di k (^). Preso un punto M 

 di s, con lì indicheremo, come dicemmo, la direzione della nor- 

 male alla curva e passante per il punto M volta verso l'interno 



(*) Cfr. Riemann-Webkr, Die Partiellen Differentialgleicliungen, Bd. 2, § 34. 



(*) Cfr. Zareìmba, loc. cit., cap. IX, § 28, pag. 141-142. 



(■^) Se la superficie s è cilindrica, quest'ultima condizione è soddisfatta, 

 poiché il piano tangente è sempre ortogonale ai piani caratteristici. La 

 prima si riduce a chiedere che il contorno e di k abbia tangente e curva- 

 tura finita. 



{*) Se la superficie è cilindrica, tutte le curve c{y) sono uguali alla 

 curva c(0) contorno di k. 



