SUL PROBLEMA DI FOURIEK 443 



4. — Richiamate tali proposizioni, osserviamo anzitutto che 

 il problema si può semplificare supponendo che le funzioni 

 f{xix\ij), fi{xyx^ che compaiono nelle (1) e (2) del n. 1 siano 

 entrambe nulle. Invero nella citata memoria {^) ho dimostrato, 

 e del resto facilmente si deduce dai primi lisultati enunciati al 

 n. 8, che la funzione 



Zi{x^'x.i'y') = -^- jjj ^^^,hoi{xiX2!^>Ai'x2'i/') f{xyX2y)dxydx2dy 



soddisfa alla (1) del n. 1 in tutto il campo S tosto che fix^x^i/} 

 soddisfaccia le condizioni rammentate al n. 1, onde se 2; è la fun- 

 zione cercata, la funzione l=z — Zx soddisferà alla Aal '^ = 



e di essa, come di z, si conosceranno i valori su k, ì valori di 

 r kZ: su s: onde la ricerca di z si riduce a quella di una fun- 



zione l che soddisfa a condizioni al contorno simili a quelle 

 cui soddisfa z ed all'equazione 



Onde intanto risulta che si può supporre nella (1) del n. 1 f=:0. 

 Similmente se F{xiX2) è una funzione finita e continua in 

 tutto il piano, la funzione ^2(^1 '^2 V) definita da 



1 /• 00 /> 00 

 ^2(.«-i'^'2V) = .- 1 F{xiX2)hQi{xiX20;XiX2y')dxidx2 



xappresenta una soluzione dell'equazione precedente che sul 

 piano //' = si riduce a F{xiX2) ed è regolare in tutto il semi- 

 spazio delle !j positive: onde basterà supporre che kF{xiX2) si 

 riduca su k a fi{xiX2) per trarre, in modo analogo a quanto si 

 fece sopra, la conclusione che si può supporre nella (2) del n. 1 



f,{x,x2) = () n 



Ci limiteremo quindi alla ricerca di una funzione soluzione 

 in S dell'equazione 



(I. ^.- -.;=<>. 



(') (A) n. 22 e ss.; e n. 30. 

 {') Cfr. (A) n. 30. 



Atti della R. Accademia — Voi. XLIII. 33 



