444 EUGENIO ELIA LEVI 



nulla su k, la quale soddisfa su .s- alla condizione 



(II) 1^ — ^{uy)2{uy) = (p(«//) , 



K(M,y), ^{uy) essendo funzioni finite e continue del punto {uy) di s (^). 

 Procureremo di porre la funzione cercata nella forma 



(III) z{x^'x^'y')= ^- jj^^^,hoi{xiXiy', x^xly') V {uy)dcdy, 



dove si pone {xiX2y) = (?<//) e H){uy) è una funzione finita e con- 

 tinua del punto di s, da determinarsi convenientemente. 



La funzione (III) è soluzione di (I) in tutti i punti dello 

 spazio i quali non appartengono ad s: poiché è ben noto, e si 

 verifica del resto assai facilmente, che quando i due punti [xiX^y) 

 (x\x\tj') sono distinti la funzione ^01(^1^2?/; ^'i^'^y') soddisfa 

 rispetto alle variabili {x\x\y') all'equazione (I). D'altra parte 

 per i teoremi enunciati nel n. 3 essa rappresenta una funzione 

 finita e continua in tutto lo spazio: e poiché per y' = il campo 

 s{y') si riduce a zero, essa si annulla in tutti i punti interni di k (-). 

 Non rimane quindi che da esprimere che essa soddisfa su s alla 

 equazione (II) : mostreremo ora che partendo dai risultati del n. 3 

 si può determinare H){uy) per modo che questa condizione risulti 

 soddisfatta. 



5. — Indichiamo perciò, come prima, con (.ri^'a;2y^')=(w"y^') un 

 punto di s, con w'^' la direzione n relativa ad esso: calcoliamo 

 la derivata della funzione (III) rapporto alla direzione w'^' nel 

 punto {xi'x^y'), e facciamo poi tendere [x^'x^'y') a {x[^^X2y^^). 

 La direzione >?/" è parallela al piano // = ; in altri termini y 

 è indipendente dalla variabile corrente lungo w*" : avremo quindi 



^^,ho^{xiX2y',Xi'x2'y')= ,^- K^ixxX^y; x^'x^'y') ^^ = 



= -^ /'i2(^i^2.«/; ^l'^i'y') cos (rw"^) 



(') Se le fiixiXo), (p{xiX.iy) davano determinazioni concordi per i punti del 

 contorno c{0) di k, ancora si avranno determinazioni concordi dopo le nostre 

 trasformazioni del problema: sarà cioè (pO<, 0) = 0. 



(^) Se (p{uO) = si vedrà che v|ì(mO) = e resterà allora provato che la 

 funzione (III) ha le derivate prime regolari anche nell'interno dei punti di e. 

 Cfr. (A) n. 30: ed anche n. 28; formula (20). 



