SUL PROBLEMA DI FODRIER 445 



come direzione positiva di r intendendosi quella volta verso la pro- 

 jezione del punto {xxX2i/). 

 E quindi 



(1) ^^1^ = - 4^ il-(,',^i2(«^i^2y; x,'x,'y') ip («^)cos(>V'0 dcdy. 



E potremo ancora scrivere 



('■^) l'niu''"^ = — ^jj^^^hiii^ix^y] x^x^'ii') cos {m) u; (w//) de dy + 

 — T~ / / hi2{xiX2u; Xi'x^if) [cos (n«'") — cos(r«) |nj (?<^/) dcdij. 



^'^J.'siif') ... . . 



Facciamo ora tendere [x^'x^y') a (.ri^'-ri'V*); avremo dalla (7) 

 del n. 3, se si suppone ^{>iy) finita e continua: 



lim A \\ ìii^{xxX.2.y;xiX.'>/)Q,os{r}ì)\^{uìi) dcdy 



= z^\]i{u;'Y') + 4^ \\^^y,,,^hì{xixm x'I xfJ>y">)cos{r''>n)\\)iuy) dcdy 



dove vale il segno -{- o — a seconda che {xi'xjy') è interno 

 ad S oppure è esterno. 



Per trovare quindi il valore limite di '^ "^^ ^^ -- quando il 



punto {xi'x^'y') tende al punto (aj^/'aj^y^'), basta trovare il valore 

 limite del secondo integrale che compare in (1). Ma questo inte- 

 grale è continuo in tutto lo spazio. 



Per mostrarlo comincierò col far vedere che detto integrale 

 ha senso quando il punto {x^'x^'y') è precisamente un punto 

 {iCi'Vi'//'') = (w"V") della superficie s: e rappresenta una funzione 

 continua del punto della superficie. Mostrerò poi che quando 

 {xi'xo'y'} tende ad (a7'/'a?i'y^') restando sempre sulla w'*' l'integrale 

 tende loiiformemente al valore che esso prende nel punto (a:*i".rj^y^'): 

 onde l'enunciata continuità. 



Si noti perciò che le direzioni r, ?<''', n giaciono tutte in un 

 piano parallelo ai piani caratteristici: onde segue 



I ^ ^ ^ ^ 



(3) cos{r«'' )— cos(rn) | ■=:^2 sen — o ®^" — 2 ®" ~Y ' 



