448 EUGENIO BUA LEVI 



E pertanto di qui e da (2) potremo conchiudere che, se si 

 suppone ^>{Hf/) finita e continua, 



(IV) 



6. — Dalla (IV) e dalla (1) del n. 5 segue che, affinchè la 

 funzione (III) soddisfaccia alla (II), occorre e basta che ^){u[/) 

 sia una funzione finita e continua la quale soddisfaccia all'equa- , 

 zione integrale: 1 



(V) ip(i/>'V' ') ~ ^ jj' ^^,^,^ VUx,x,ij; 4^'4' in cos (r< V^') - '1 



— 2K{ui/)hoi{xiX2y; x[^xiPy^^'')\y]t{iuj)dcdij = (p(u"V"). 



L'equazione (V) è un'equazione integrale del tipo di Fred- 

 holm : e , se si può risolvere, ci darà una funzione, la quale, 

 sostituita in (III), se finita e continua, risolve il problema. Baste- 

 rebbe quindi dimostrare che la (V) non ha nullo il determinante. 

 E ciò non sarebbe difficile, ove si volesse ammettere che per il 

 nostro problema sia già dimostrato il teorema di unicità, ricorrendo 

 a considerazioni analoghe a quelle ordinariamente usate per 

 dimostrare la risolubilità del problema di Dirichlet: ma siccome 

 per noi il teorema di unicità non è noto che in casi particolari, 

 noi non terremo tale via; e dimostreremo direttamente, come 

 già feci in (A) (^) per una analoga equazione, che in base alle 

 formule (3) e (4) del n. 3 la serie di Neumann (e di Volterra) 

 che dà la soluzione di questa equazione, converge. 



Invero si osservi che la serie di Neumann risolvente la (V) 

 è data da 



(1) nf{i(!j) = cp{ui/) 4- (p,{uij) -f- (P2M + ... -f- cp^iuij) +... J 

 dove * 



(2) ^>^{h^'>/^]= -^ ff^^^^^^^pi,,{x,x,y; x^^a^Yl cos (r< V") - 



— 2K(?/"y'>)Aoi(a^ia^2^;4M'V '0]qp/-i W dc(^}/- 



0) N. 30. 



I 



