450 EUGENIO ELIA LEVI 



~;7=^ {L22 + CLqi) |/</o, si avrà che la (1) converge come una serie 

 esponenziale e che precisamente è 



(2) [Mj(w?/)l<20,e^''. 



Onde, poiché la ^){ulJ) data da (1) è finita e continua, il 

 teorema di esistenza è pienamente dimostrato (^). 



Abbiamo contemporaneamente mostrato che l'equazione (V) 

 ha sempre il determinante =N 0, e che quindi l'equazione omogenea 

 corrispondente a (V) non ha mai altra soluzione che lo zero. 



7. — Per dimostrare il teorema di unicità della soluzione 

 incominciamo col dimostrare il teorema in un caso particolare. 

 Col solito metodo delle integrazioni per parti si ottiene per 

 una qualunque funzione z soddisfacente a (I) e nulla su h, come 

 è ben noto, la formola seguente : 



^ '^iìLiy')^ (^^^- %) ^^y^^^^y = -\\\^^^^,Ù.,zdx,dx2dy - 



(1) 



dove ^(2/') è l'area del piano ;</=«/' interna ad /S(^') [possiamo anche 



dire l'area piana racchiusa dalla curva c(y'),] cos(v?/) indica il 

 coseno dell'angolo della direzione positiva della v con quella 



della «/, ed infine A^^ r= |-^ H~ ( a~^ • -^^^ ^^®^ ^^ ^^ ^ ^^^ 

 cilindrica a generatrici parallele all'asse delle y scomparirà il 

 terzo integrale della formula precedente, poiché cos(v</) = 0. 



(') Si noti che se era qp(MO)=^0 sarà evidentemente da (1) e (2), iij(«<0)=0, 

 poiché in questa ipotesi nella limitazione (2) della ^{ny) col tendere di y 

 a zero si può prendere O e quindi <t>i piccolo a piacere. La funzione (III) 

 sarà quindi allora regolare anche nei punti del. contorno di t. Cfr. n. 4 

 e specialmente la nota a pie di pag. 12. 



