SUL PROBLEMA DI FOUKIER 451 



j Si supponga ora, se possibile, che la funzione z soddisfaccia 



su s ad una relazione del tipo della (II), ma omogenea: 



(2) . ^±-^(uij)z=^^, 



dove la funzione y^{uy) sia tale che 



(3) \^EK{uy) — - cos(vj) -^ir = Ki(m//) >0. 



Sarà evidentemente sempre possibile, qualunque sia la su- 

 perficie s, trovare delle funzioni finite e continue yi{uif) che sod- 

 disfacciano a (3); ad es.: se la superficie s è cilindrica a ge- 

 neratrici parallele all'asse delle ?/ avendosi cos(v//) = basterà 

 prendere K(j/y)>0. La (1) dà allora 



(4) 0= — \jjg^y,^ l^xzdx^dxc^dy — jj^^^^v.x{uif)z'^dudy—^\j z^-dx^dx^. 



Ora gli integrali del secondo membro della (4) sono tutti 

 essenzialmente positivi, nulli solo se la 2; è identicamente nulla: 

 quindi l'unica funzione z la quale si annulli su A- e soddisfaccia 

 alla (2), dove si' suppone che per k(«^</) valga la diseguaglianza (3), 

 sarà lo zero. In altri termini risulta di qui che la soluzione del 

 problema propostoci è unica quando la funzione K(uy) che com- 

 pare in (II) soddisfa alla (3). 



Ritorniamo al caso che y^{ny) sia qualunque. Se esistessero 

 due funzioni che soddisfacessero alle (I) e (II), esisterebbe una 

 funzione z che soddisfa alla (I), si annulla su A-, e su s è tale che 



— ^ — k{ìiiì)z = 0. 

 d« 



Ed ove una tale funzione z potesse porsi sotto la forma (III) 

 la funzione vp(M//) corrispondente dovrebbe soddisfare all'equa- 

 zione integrale omogenea corrispondente a (V); ma per l'os- 

 servazione finale del numero precedente, una tale funzione deve 

 essere identicamente nulla, e tale deve quindi essere anche la 

 z{xiX2y). Onde il teorema di unicità riuscirà dimostrato tosto 



