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dovrà essere 



BEPPO LEVI 



onde 



d^{v^ — U^) = «2(9^2 — U^). 



I binomi v'^ — u^, 9f- — ir non possono aver fattori comuni 

 che non siano fattori di 8 ; e se tali fattori hanno, u e v sono 

 dispari, e quindi i due binomi hanno precisamente il fattor co- 

 mune 8; questa uguaglianza può dunque solo soddisfarsi ponendo 



8'(^2 = 9^,2 _ „2^ 8V2 = v'- 

 S'[d2 — é>2) = SV\ 



{i=0 1) 



Per e = si ricava dalla 1-^ equazione che d ed u debbono 

 essere multipli di 3, perchè 3 non è somma di due quadrati; 

 e ponendo u = 3r, d = 3f sì ricava 



(2) ^2^^,2_y2 g2^^2_9^2 



Per i= 1 l'ultima equazione diviene 

 v^ = d'- — e^ 

 e sottraendo da questa la penultima si ottiene 



«2 = (^2 _ 9g2_ 



^ Si ha COSI anche allora un sistema identico al sistema (2). 

 •|' Dalla l"" equazione di questo sistema si ricava che v non può 

 essere divisibile per 3, perchè se fosse, dovrebbe r esser primo 

 con 3, e poiché 3 non è somma di due quadrati non potrebbe es- 

 sere v^ =:f^ -\- r^. Sono allora a due a due primi fra loro tanto 

 e, V e 3r come f, v ed r e per soddisfare alle (2) deve porsi 



v—f= 2^0^32 v-\-f= 22T-b2 

 v — e = 2S.9a2Y2 v -\- e = 2^r-b^ 



dove si ammette che f ed e abbiano segno conveniente, 4- — ; 

 e dove S ha uno dei valori 0,1 e a P t ^ sono numeri interi a 2 

 a 2 primi fra loro, dispari se 2 = 0. 



