TEORIA AlilTMETICA DELLK FOKME CUBICHH TEKNAKIE <>77 



forma -„- dove uu' è un nuovo periodo del parametro ellittico 



ot 



relativo alla cubica, avente a tu rapporto complesso (')• 



Il secondo caso si riconduce immediatamente al primo: in- 

 vero si è già osservato altre volte che, non potendo punti del 

 ramo pari (ove esso esista) della cubica (^sser tangenziali di 

 punti razionali, tutti i punti di una configurazione finita di 

 punti razionali, fatta al più eccezione per le origini di rami 

 arborescenti, debbono appartenere al ramo dispari ; ma le coor- 

 dinate ellittiche dei punti di tal ramo hanno tutte fra loro rap- 

 porto reale; se quindi non è reale —, dovrà esserlo certamente, 



per un conveniente valore del periodo uj", il rapporto < 



e t dovrà essere pari; cosicché uu' potrà differire da un numero 

 della forma guu (-) solo per un numero della forma „ ai". Se 



allora q = 1 (mod. 3) non si avrà che il caso dei punti razionali 

 or ora chiamati accidentali; se invece q = — 1 o =0 (mod. 3), il 



punto -^ si riattacca ugualmente come punto razionale accidentale 

 ad un'altra configurazione per cui il rapporto analogo a - è ra- 

 zionale (intero = — 1 o =0, mod. 3); qualche maggior pieci- 

 sione a questa osservazione risulterà dal seguito. 



6. — Se sopra una cubica a coefficienti razionali sono ra- 



zionali i punti di coordinate ellittiche e * ove q = o — 1 



(') Il rapporto, ove non sia complesso, potrà sempre supporsi intero, perchè 



se fosse tu' = - tu — irreduttibile j esisterebbe un periodo lu* tale che 

 ti ' n I 



u) = ;juj*. w' = mu)* ed esisterebbero sulla cubica punti razionali di coordi 



«tu* mio* 

 nate ellittiche -^ — , -r — : è facile vedere che in tale ipotesi esistono due nu- 

 meri interi X e |u tali che Xm + M'" ^zhl (mod. 3t) e X + M^l (mod. 3). Allora 

 la cubica possiede il punto razionale . 1 = ~ , mod. lu*! razio- 

 nalmente dedotto dai precedenti, e al periodo uj dianzi considerato potrà 



UJ 



sostituirsi il periodo rb ^ r il punto ■„. deducendosi a sua volta razional- 



St 



mente da --— e dal detto punto 



(*) Ove q può Rujipor.si intero: cfr. ('). 



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