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(inod. 'A) saranno razionali tutti i punti di coordinata ellittica 1 



ove h e un intero qualunque, perchè sempre si potranno trovare 

 due interi \ e ix tali che X-'^- ^q = h e X-[~M~1 (mod. 3) {^). 



In particolare saranno razionali i tre flessi , — , uj. Si as- 



soggetti allora la cubica ad una trasformazione birazionale qua- 

 dratica (a coefficienti razionali) avente per punti base gli ulte- 

 riori tre punti d'intersezione della cubica con una conica che la 



tocchi nel punto w e passi pel punto — -^ ; si otterrà una 

 nuova cubica a coefficienti razionali, sulla quale, al punto razio- 

 nale di coordinata ellittica — — corrisponderà un punto razio- 

 nale di coordinata ellittica ^ ^ ^ == ^"^7^—. Al sistema finito 



di punti razionali supposto nella cubica primitiva corrisponde 

 cosi nella trasformata un sistema di punti razionali, tutti razio- 

 nalmente dedotti da uno di essi (di coordinata — ; ed ilsistema 



nuovo sarà poligonale semplice se tali erano i sistemi conside- 

 rati nella cubica primitiva (0 se si riducevano a flessi isolati), 

 poligonale misto se questi erano invece arborescenti poligonali 

 misti; ed in quest'ultimo caso i rami arborescenti del nuovo 

 sistema saranno completamente analoghi a quelli dei sistemi 

 primitivi, per numero di vertici e per forma della diramazione 

 (cosicché ciascun vertice di essi che non sia un'origine sarà 

 tangenziale di 2 di 4 punti razionali secondochè così avviene 

 pei sistemi primitivi). 



7. — Reciprocamente, se sopra una cubica a coefficienti 

 razionali esisterà un sistema finito di punti razionali, corrispon- 

 dente a un divisore t multiplo di 3 — cosicché, posto /. = 3^', 

 la coordinata ellittica di un punto del sistema da cui gli altri 



si deducano razionalmente si potrà scrivere ~-, — basterà assog- 



(') Basterà prendere X = /i, |li = se A = l (mod. 3), se X — A — q, |a = l, 

 se h = g (mod. 3), \ = h — 2q, fx = 2 se h -\- q ^ — 1 (mod. 3). Il potersi 

 soddisfare a queste congruenze è condizione necessaria e sufficiente perchè 



il punto -^— - derivi razionalmente dai punti -r- , -^ (cfr. Nota I, n. 10). 

 ot or àt 



