746 GUSTAVO SANXIA 



Ciò mi permetterà di stabilire formole generali per lo studio 

 delle congruenze W, e di evitare la separazione dei due casi 

 di una superficie di partenza a curvatura negativa o positiva. 



Darò infine un teorema nuovo e notevole sopra una classe 

 importante di congruenze W. 



Formole di Lelieuvre generalizzate dal Darboux. 



2. — 11 Darboux, nel § 881 del voi. IV delle sue Lecons..., 

 generalizza rapidamente le formole di Lelieuvre, che definiscono 

 una superficie riferita alle sue asintotiche, estendendole ad una 

 superficie riferita ad un qualunque doppio sistema di linee. 

 Qui darò una dimostrazione diversa e meno succinta di quelle 

 formole, allo scopo di enunciare i risultati sotto una forma più 

 precisa, indispensabile per il seguito. 



Sia S una superficie luogo del punto 



x{u,v), y{u,ì^, z{u,v), 

 XYZ i coseni direttivi della normale in {x, y, z) e 



— ì:dxdX= Ddu'--\- 2D'dudv + D"dv^, 

 ì: dX^ = edu^ + 2fdudv 4- gdv'- 



la seconda e la terza forma fondamentale. 



Preso per ]eg — P il valor positivo e posto 



(2) A = VjZ)Z)"— 7/2| , p = 



A 



leg-r- 



sarà p una quantità positiva e la curvatura totale K della su- 

 perficie sarà 



(3) ^=f^ 



ove € è il segno di DD" — D'^. 

 Le note formole (^) 



^ _ fP'— ff^ ÒX I fP - gP' ÒX 

 òu eg — f'^ òu eg — f- ?tr 



òx^ _ fP"—gP' ÒX I fP'—eP" ÒX 

 àv eg — f' òu eg — f^ dv ' 



C) L. e. [% voi. I, p. 153. 



