SUL TEOREMA DI MOUTARD E LA SUA INTERPRETAZIONE, ECC. 757 



Se si tien presente che le (18) e (19j valgono per le coppie 

 di valori 



E e £i, n e ni, ^ e l^ 

 di 6 e 9,, si vede subito che le (17) si riducono a 



Ò {Xj — x) 



òli 



Ò{Xi — x) 



'^'-''-tA 



l, - R 



ò_ z_ 



òu R 



ossia a 



ò{x\ — x) ò 



òu òu 



R òv 



ni n 





^1 i 



òv 



òv 



ni n 



Ix l 



da cui seguono le (16), prendendo valori convenienti (nulli) per 

 le costanti additive. 

 Dalle (16) risulta 



E(a?i —x)^r]{yi — y) -f l{z^ — z) = , 

 Ei(a;i —x)^ rii(/yi - y) ^ ^li^x — z) = 0, 



quindi, se si osserva che l^t sono proporzionali ai coseni di- 

 rettivi della normale ad S e EiHi^i a quelli della normale ad 6'i 

 (v. § 3), si deduce che la retta che unisce i due punti corri- 

 spondenti F{x,y,z) ed Fi{xi, y^^Zi) di .S^ ed .S'^ tocca *S' ed Si 

 in F ed F^. 



Dunque S ed »S'i sono le due falde della superfìcie focale 

 della congruenza generata dai raggi FF^. 



Osservando poi che E ri £ e Ei rij 2^ sono due terjie di solu- 

 zioni delle due equazioni (I) e (I*), che differiscono solo nei coef- 

 ficienti M ed jWi di 9 e Gì , si deduce (§ 4) che sii S ed Si si 

 corrispondono i sistemi coniugati e le asintotiche, ossia che la con- 

 yruenza cosi costruita è una congruenza W. 



