LEONIDA TONELLI — SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 783 



Sulla rettificazione delle curve. 



Nota del Dott. LEONIDA TONELLI, a Bologna. 



Il prof. Vitali, in una recente nota (i), ha dato una propo- 

 sizione relativa ai gruppi di punti e ne ha dedotto una dimo- 

 strazione della seguente proposizione: " un numero derivato di 

 una funzione a variazione limitata è sommabile; se la funzione 

 è assolutamente continua, l'integrale indefinito del numero de- 

 rivato coincide con la funzione all'infuori di una costante addit- 

 tiva „. La stessa dimostrazione del Vitali, portata nel campo 

 della rettificazione delle curve, mi ha condotto al seguente ri- 

 sultato. Data una curva continua {^) rettificabile 



x = x{t), y = y{t), z = z{t) {a<t<h), 



si indichi con l la sua lunghezza. Allora V integrale (^) 



esteso al gruppo E dei punti di (a, b) ove le x'(t), y'(t), z'(t) esi- 

 stono e sono finite^ esiste sempre ed è 



Se poi le funzioni x(t), y(t), z(t) sono assolutamente continue, l'in- 

 tegrale considerato dà la lunghezza della curva, vale a dire è 



j.iWiWTlMi^'WW dt = i. 



(') G. Vitali, Siti gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, 

 Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino ,, voi. XLIII, anno 1907-908. 

 (^) Cioè tale che le x{t), n{t), z{t), siano funzioni continue. 

 (') Integrale nel senso del sig. Lebesgue. 



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